CEBİR

Aritmetik mi Geometrik mi?Kararsızların Ortalaması Nedir?

Bazı sayılarınız var ve onların tipik değerlerini temsil eden yeni bir sayı üretmek istiyorsunuz. Bunu nasıl yapacağınıza karar veremiyorsanız işte karşınızda ortalamamız aritmetik mi yoksa geometrik mi olsun derdine son verecek, pozitif sayılar kümesinin ortalamasını bulmanın farklı bir yolu olan kararsızların ortalaması!

Sayılarınızın tipik değerlerini temsil eden yeni bir sayı üretmek istediğinizde eğer biraz matematik-istatistik alanında bilgiliyseniz aklınıza ilk gelen aritmetik ortalama olur. Aritmetik ortalamayı elinizdeki tüm sayıları toplayıp toplam sayınıza bölerek basitçe hesaplayabilirsiniz.

Durumu biraz daha karıştıralım ve geometrik ortalama kavramını da işin içine alalım.

Geometrik Ortalama Nedir?

Geometrik ortalama, istatistikçilerin de belirttiği üzere tıpkı aritmetik ortalama gibi merkezi eğilimin göstergelerinden biridir. Hesabı da aritmetik ortalamaya benzer aslında; sadece burada çarpma ve karekök alma işlemi devreye girer.

İki sayının geometrik ortalamasını almak için bu iki sayıyı çarpın ve onların karekökünü alın, işte bu kadar basit! Eğer ikiden fazla sayının geometrik ortalamasını hesaplamak isterseniz tüm sayıları çarpın ve n-inci dereceden karekökünü alın.

(Unutulmaması gereken nokta, karekökün alınabilmesi için bu iki sayının ya pozitif ya da negatif olması gerek, biri pozitif biri negatifse olmaz!)

Durumun karışma sebebine gelince, hem aritmetik ortalama hem de geometrik ortalamayla tanıştınız, e hangisini kullanmalı?

Hangi Ortalama Elinizdeki Sayıları En İyi Temsil Eder?

Aritmetik ortalama çok sevecen ve çok da adil duruyor değil mi? Ancak geometrik ortalamanın da çarpımsal olarak işleyen süreçlerde –faiz oranları ve gelir dağılımları gibi- verinizi aritmetik ortalamadan daha iyi temsil ettiği durumlar söz konusudur.

Hala kararsız kaldıysanız size önerilen şu: Neden iki ortalamayı birden kullanmayasınız? Bu nasıl mı yapılacak? Elbette aritmetik-geometrik ortalamayla!

Aritmetik-geometrik ortalamayı bulmak, yinelemeli bir süreçle mümkün. Her adım iki sayı üretir.

Öncelikle iki sayı seçerek örneğimize başlayalım ve bu sayılar 1 ile 2 olsun. Bu sayıların aritmetik ortalaması 3/2 ve geometrik ortalaması karekök 2’dir. Bir sonraki adımda 3/2 ile karekök 2’nin aritmetik ortalaması (1,457) ile geometrik ortalamasını (yaklaşık 1,456) bulursunuz.

Görüldüğü gibi elde edilen iki değer oldukça yakındır ve sonraki yinelemelerde birbirine çok yakın rastgele iki sayı üretecektir. Bu noktada hem aritmetik ve geometrik ortalamaların limiti hem de aritmetik-geometrik ortalamanın limiti birbirine denktir.

İki sayının aritmetik-geometrik ortalaması birbirine çok çabuk yaklaştığından bu süreç irrasyonel sayılar için iyi tahminler elde edilmesinde de kullanılmıştır.

Ya İkiden Fazla Sayınız Olduğunda?

Bu durumu anlatabilmek için yazının devamında aritmetik-geometrik ortalama ifadesi yerine “kararsızların ortalaması” ifadesi kullanılacaktır.

İki sayının aritmetik-geometrik ortalaması için, her adımda bize iki sayı veren yinelemeli bir işlemimiz vardı. İkiden fazla sayının “kararsızların ortalamasını” bulmak için de aynı şeyi yapacağız.

Yani kararsızların sayı ortalamasını almak için her adımda bize sayı veren yinelemeli bir süreç oluşturacağız. Bu nedenle her adımda, önceki sayılar listesindeki en küçük sayıyı önceki sayıların geometrik ortalamasıyla ve en büyük sayıyı o sayıların aritmetik ortalamasıyla değiştiririz.

Sürecin nasıl işlediğine dair bir fikir edinmek için 4 sayıya bir göz atalım. 1, 5, 20 ve 26 sayılarıyla başlayacağız. Bu sayıların aritmetik ortalaması 13 ve geometrik ortalaması yaklaşık 7,14’tür. Bu yüzden ilk listemizdeki en büyük ve en küçük sayıları 13 ve 7,14 ile değiştiriyoruz. Şimdi 5, 7.14, 13 ve 20 sayılarına sahibiz.

İşlemi tekrar ediyoruz. Bu dört sayının aritmetik ortalaması yaklaşık 11,285’tir. Geometrik ortalaması ise yaklaşık 9,82’dir. Şimdi listemiz 7.14, 9.82, 11.285 ve 13’tür. Devam edelim. Bu yeni listenin aritmetik ortalaması 10,31 ve geometrik ortalaması 10,07’dir.

İşlemi sürdürelim: 9.82, 10.07, 10.31, 11.285. Ardından 10.07, 10.31, 10.35, 10.37. Birkaç yineleme daha yapınca sayıların birbirine yaklaştığını ve 10,3 civarında oluştuğu açıktır.

İki sayının aritmetik-geometrik ortalaması, aslında matematik için faydalı bir kavram olmuştur. Onu üreten yinelemeli süreç çok hızlı bir şekilde sonuçlanır. Aritmetik-geometrik ortalama, bir uzlaşma aracı olarak kullanılınca siz de rahata erebileceksiniz. Fakat görüldüğü kadarıyla matematikçiler tarafından kullanımına pek rastlanılmamıştır.

İşte karşınızda pozitif sayılar kümesinin ortalamasını bulmanın farklı bir yolu olan kararsızların ortalaması! Bu kavram umuyoruz ki bazı kararsız insanların verilerini kullanırken ortalamalarını kolayca almalarında ve hayatlarına devam etmelerinde yardımcı olur. Matematiğin her derdinize cevap verme çabası ne güzel değil mi?

Kaynakça:

Bu yazı https://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/the-ditherers-mean/ sitesinden uyarlanmıştır.

Matematiksel

Olgun Duran

Ömür boyu öğrencilik felsefesini benimsemiş amatör tiyatro oyuncusu, TEGV'de gönüllü aktivist; kitaplarından, doğaya hayranlığından, yeni yerleri görmekten, gittiği yerlerin kültürünü keşfetmekten ve bunların uğruna çabalamaktan vazgeç(e)meyen kişi...  

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu