MATEMATİK

Fermat’ın Son Teoremi Neden Özeldir?

Bir matematikçi olarak Pierre de Fermat “Amatörlerin Prensi” olarak bilinir. Bunun en önemli nedeni, adını günümüze kadar taşıyan Fermat’ın Son Teoremi elbette…

Fermat’ın son teoreminin en iyi yanı, teoremi anlamanın kolay olmasıdır. Teoremi zor yapan ise ispatının son derece zor olduğunun anlaşılmasıdır. Hatta o kadar zordur ki, üstesinden gelmek için dünyanın önde gelen matematikçileri 350 yıl boyunca bu soruyla uğraşmışlardır.

Her Şeyin Başlangıcı

Aslında herşey 1650 yılı civarında Fermat’ın Diophantus’un Arithmetica adlı kitabının kenarına gizemli bir not düşmesi ile başladı.

“… Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet!”

Bu şunun gibi bir anlama gelmekteydi. “Teoremin müthiş bir kanıtını buldum fakat burada yazacak kadar yer yok”.

Diophantus MS 250 yılı civarında çözümleri kesirler ya da tamsayılar olması gereken denklemler ile ilgili bir kitap yazmıştı. Bu denklemler günümüzde Diophantus denklemleri olarak bilinir.

İşte bu kitabında Diophantus tüm Pisagor üçlülerini bulmak için genel bir kural yazmıştı.

Pierre de Fermat profesyonel bir matematikçi değildi. Günlük işi hukuk danışmanlığıydı. Ama tutkusu matematik özellikle de günümüzde sayılar kuramı adını verdiğimiz tamsayıların özellikleri ile uğraşmaktı. İşte Fermat notunu tam da Pisagor üçlüleri ile ilgili kısmın yanına yazmıştı. Muhtemel Pisagor üçlüleri hakkında düşünmüş ve bunu genellemenin bir yolunu aramıştı.

Fermat’ın Son Teoremi Bize Ne Anlatır?

an + bn = cn

Yukarıdaki denklemi ele aldığımızda n yerine 2 yazdığımızda bu denklem Pisagor teoremine dönüşür ve bu denklemi sağlayan a,b,c tamsayıları mevcuttur. Bunlar Pisagor üçlüleridir.

Bu denklemde n yerine 3 yerleştirdiğiniz vakit işler o kadar kolay olmaz. Çünkü 0 sayısı hariç denklemi sağlayan a,b,c tamsayılarını bulmak kolay değildir. Aynı sorun n=4 için de geçerlidir. 5 ve 6’da da çözüm yoktur.

İşte tüm bu denemelerden sonra Fermat pes etmiş olmalı ki meşhur notuyla aslında bize şu mesajı yolladı:

” Bir küpü, iki küpün toplamı, bir dördüncü üssü iki dördüncü üssün toplamı genel anlamda ikiden daha büyük herhangi bir üssü aynı türden iki üssün toplamı olarak çözümlemek imkansızdır.”

Fermat'ın Son Teoremi

Fermat’ın yanına not düştüğü bu kitap yıllar sonra oğlu tarafından fark edilmiş ve kitabın yeni baskısı içindeki notlarla birlikte yapılmıştır. O zamandan sonra bu kitabı okuyan matematikçiler Fermat’ın iddialı sözüyle karşılaşınca hadi bizde deneyelim diye işe girişmişler ve Fermat’a meydan okumuşlardır.

Aslında kitabın kenarlarına ispatı verilmemiş başka sayılar kuramı ile ilgili sorularda yazmıştı. Süreç içinde matematikçiler diğer tüm problemleri ispat etmişler ve geriye doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanamayan son bir teorem kalmıştı.

İnsanlar yıllar içinde bu teorem üzerinde çalışıp başarısız oldukça matematikçilerin bu teoreme duydukları ilgi arttı ve zamanla teorem bir fenomen haline dönüştü.

Fermat’ın Son Teoremi İçin Çözüm Arayışları

İlk çözüm küpler için böyle bir çözüm olmadığını söyleyen Euler’den geldi. Fermat’ın kendisi başka bir notunda dördüncü dereceden üsler için çözüm olmadığını ispatlamıştı. Peter Lejeune Dirichlet 1828’de beşinci ve devamında da 14. üsler için de çözümlerin kesin olmadığını doğruladı.

İlerleyen yıllarda bu çılgınlık zaman içinde durağanlaştı ve matematikçiler başka alanlara yöneldiler. Ancak 10 yaşında bir çocuk bir gün kütüphanede bu teoremin anlattığı bir kitapla karşılaşınca teoremin kaderi değişti. Andrew Wiles adlı bu çocuk için bu problem artık hayatının tutkusu halini alacaktı.

Matematikçi olan Andrew bir gün Taniyama – Shimura hipotezi ile karşılaşır ve bu hipotezin ispatı ile Fermat’ın son teoreminin ispatı arasında bir bağ olduğunu fark eder.

Hikayenin devamını bu yazımızda ele aldık, oradan okumaya devam edebilirsiniz: Fermat’a Meydan Okuyan Bir Profesör: Andrew Wiles

Sonuçta macera tamamlanır ve 1635-1637 arasında ileri sürülen bu teorem ancak 1994 yılında İngiliz matematikçi Andrew Wiles tarafından kanıtlanır…

Andrew Wiles

Andrew Wiles’ın, eski öğrencisi Richard Taylor ile birlikte yaptıkları ispat 200 sayfa civarında son derece karışık çözümler içermektedir.

Günümüzde halen bazı matematikçiler Fermat’ın son teoremi ile oynamayı sevmekte. Simpsons izlemeyi sevenler aslında bu animasyonun bazı karelerine daha dikkatli bakarlarsa çeşitli yerlere serpiştirilmiş matematik ile karşılaşacaklardır.

Bunun sebebi bu animasyonun yapım ekibinde birçok matematikçinin yer alması ve tutkularını yaptıkları işe aktarmaları biraz da kafa karıştırmak istemeleri. Bunlardan bir kaç tanesi aşağıda gördüğünüz kareler.

Bu tahtada yazan işlemin cep telefonlarınızla sağlamasını yapmaya kalkarsanız doğru. Neler oluyor? Andrew yanılıyor mu?

Aslında elbette değil bu sadece bir şaşırtmaca. Cep telefonlarımız veya klasik hesap makineleri sadece belli bir basamağa kadar işlem yapabilir. Bir bilgisayar yardımı ile verilen sayıları denerseniz çok yakın olduğunu ama tam olarak sağlamadığını görebilirsiniz.

Herkesin kafasında bir soru var. Fermat bu teoremin ispatını daha kısa yapabilmiş miydi? İşte bu bir  muamma…

Fermat’ı biraz daha tanımak isterseniz tarafımızca çevrilen aşağıdaki videoya da göz atabilirsiniz…

Sibel Çağlar

Matematiksel

Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu