İlginç Sorular ve Bulmacalar

Basit Soruların Cevapları Her Zaman Basit Olmayabilir!

Harmonik ortalama adını bir yerlerde duymuş olabilirsiniz. Önce size oldukça basit bir soru soralım sonra da sorunun bu hesaplama ile ilişkisini aktaralım.

Güneşli güzel bir haftasonu sabahında, Çokgezenler ailesi Şile’ye doğru günübirlik bir geziye çıkmaya karar verdi. Maalesef pek çok insan aynı fikre sahipti ve Çokgezenler ailesini yoğun bir trafik bekliyordu. Gidişteki hızı ortalama saatte 30 kilometre kadardı. Gün bitip akşam dönüş yoluna çıktıklarında onları daha kötü bir trafik bekliyordu. Bu sefer ortalama hızları saatte 20 kilometre kadar oldu. Peki, yolculuk boyunca ortalama hızları neydi?

Çoğu kişinin yaptığı gibi hızı toplayıp 2’ye bölmek size 25 cevabını verir. Bu çok basit cevap maalesef yanlıştır. Tüm yolculuk boyunca ortalama hız aslında 24 km/sa idi. 24 cevabı sizi şaşırttıysa, o zaman insan zihninin sorunları çözerken kandırılabileceği yollardan birini deneyimlediniz demektir. Bir hesaplamanın basit ve tanıdık görünmesi, köşede pusuda bekleyen bir sürpriz olmadığı anlamına gelmez.

Ortalama bir hız bulmanın yolu, toplam mesafeyi almak ve geçen süreye bölmektir. Bu durumda mesafeyi bilmiyoruz, ancak cevap herhangi bir mesafe için aynı çıkacaktır, yani çözümde gidilen yolun hiçbir önemi yoktur.

Çokgezenler ailesinin evi ile Şile arasının 60 kilometre olduğunu varsayalım. Bu durumda gidiş yolu 60/30= 2 saat, dönüş yolu ise 60/20=3 saat sürecektir. Bu, tüm yolculuğun ortalama hızının beş saatte 120 kilometre yani saatte 24 kilometre olduğu anlamına gelir.

Çözümün aslında yoldan bağımsız olduğunu söylemiştik. O halde şimdi daha genel bir çözüm yapalım. Evleri ile Şile arasındaki mesafeyi x olarak kabul edelim. Bu durumda gidiş zamanları x/ 30 saat dönüş zamanları da x/20 saat olacaktı. Tüm yolculuk için harcanan x/30 + x/20 = 50x/600 olur. Gidiş dönüş toplam yol 2x kadardır. Şimdi yolu zamana bölerseniz x’ler birbirini götüreceğiniz için sonucunuz yine 24 çıkacaktır.

Harmonik Ortalama

Bu ortalama hız, harmonik ortalama olarak bilinir. Harmonik ortalama, gözlem sonuçlarının birim değerlerinin terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir. Bu ortalama hız, verimlilik gibi oranların ortalaması alınması gerektiği zaman kullanılır. Birim değerleri x1, x2, … , xn gibi gösterilirse harmonik ortalama aşağıdaki gibi yazılır:

İki hız birbirine nispeten yakın olduğu sürece sonuç basit ortalama hesabına yakın çıkacaktır. İki sayı ekleyerek ve ikiye bölerek hızların ortalaması alınamaz. Bu uç bir örnekle daha net anlaşılabilir. Çokgezenler ailesinin Şile’ye 30 km/sa hızla gittiğini ve gidiş dönüş ortalama hızlarının 15 km/sa olduğunu düşünelim. O zaman geri dönüş hızları ne kadardı?

Hatalı düşünüş biçimi (30 + 0) / 2 = 15 çıktığı için sorunun cevabının 0 km/sa olması gerektiğini söyler bize. Bu hesapla Çokgezenler ailesi asla evlerine varamayacaktı diğer bir deyişle. Sorunun cevabını harmonik ortalama ile çözerseniz dönüş hızlarının saatte 10 kilometre olduğunu bulabilirsiniz. İşlemleri yapmayı bu sefer size bırakalım, basit bir soruya cevap vermeden önce bir kere daha düşünmenin iyi fikir olduğunu hatırlayalım.

Kaynak: Eastaway, Robert.; Wyndham, Jeremy. Why Do Buses Come in Threes? : The Hidden Mathematics of Everyday Life

Matematiksel

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.