Afin Fonksiyonlar

“Doğrusal fonksiyon” nedir? Daha ziyade şu soruya odaklanalım: f(x)=ax+b doğrusal bir fonksiyon mudur?

Bir çok kişi başlangıçta bu soruyu sormamızı yadırgayacaktır elbette. Sonuçta lise yıllarından itibaren öğretilen çok basit bir tanımdan bahsedilmekte. Ancak belki de eksik bir şeyler olabilir.

Önce bazı tanımlamalarla işe başlamamız gerekecektir.

Lineer Operatörler

Bir X vektör uzayından bir başka Y vektör uzayına bir A tasviri ∀ x1, x2 ∈ X ve α1, α2 ∈ R olmak üzere aşağıdaki koşulu gerçekliyorsa lineer tasvir, lineer operatör veya lineer dönüşüm adını alır.

A (α1x1 + α2x2) = α1Ax1 + α2Ax2     (1)

Lineer Fonksiyoneller

Bir X vektör uzayı üzerinde tanımlı bir lineer fonksiyonel X vektör uzayından reel sayıların R uzayına bir lineer operatördür. Dolayısı ile bir lineer fonksiyonel, X vektör uzayı üzerinde tanımlı reel-değerli ve

f (αx + βy) = αf (x) + βf (y)             (2)

koşulunu sağlayan bir f fonksiyonundan ibarettir. Ayrıca bir fonksiyonelin, bir alt-uzaydan, özelliklerini korumak suretiyle tüm X uzayına genişletilmesinin mümkün olduğu da kolaylıkla kanıtlanabilir.

“f (x) = ax + b” bir lineer fonksiyon mudur?

Yukarıdaki tanımlar ışığında lineerliğin farklı isimler altında bizi aynı koşullara götürdüğünü görmekteyiz. Şimdi de f (x) = ax + b biçiminde verilen bir fonksiyonun lineer olup olmadığını yukarıdaki bilgiler ışığında inceleyelim:

 f (αx + βy) = a (αx + βy) + b

                      = αax + βay +b

                       = αf (x) − αb + βf (y) − βy + b

                       = αf (x) + βf (y) − αb − βy + b

                       ≠ αf (x) + βf (y)                                        (3)

Buradan da açıkça görülebileceği gibi f (x) = ax + b biçimindeki fonksiyonlar için lineerlik koşulu sağlanmamaktadır. Bu biçimdeki fonksiyonlar bize bir doğru grafiği vermekte, ancak cebirsel anlamda doğrusallık koşulunu sağlamamaktadır.

Doğru denklemi ile doğrusal ya da lineer fonksiyon kavramları bu nedenle birbirine karıştırılmaktadır.

f (x) = ax + b şeklinde yazılabilen fonksiyonlar afin fonksiyon adını alırlar.

Yapılacak benzer bir inceleme f (x) = ax biçimindeki fonksiyonların lineerlik koşullarını sağladıkları kolaylıkla görülebilir. Yani aslında lineer fonksiyonlar ailesi afin fonksiyonların bir alt ailesi olarak
düşünülebilir. Her lineer fonksiyonun bir afin fonksiyon olduğunu ama her afin fonksiyonun bir lineer fonksiyon olmadığı aşikardır. Grafik olarak düşünüldüğünde tüm doğrular afin fonksiyonları temsil ederken, bunların içinden sadece orijinden geçenler lineer fonksiyonları temsil etmektedir

Afin Fonksiyonlar

Afin fonksiyonlar f (x1, . . . , xn) = a1x1 + . . . + anxn + b               (4)

biçiminde ifade edilen vektör-değerli fonksiyonlar olup, n = 1 için reel-değerli fonksiyonlara dönüşürler. Katsayılar skaler veya matrislerden oluşabilirler. Sabit terim de benzer biçimde bir skaler veya bir sütun vektöründen oluşabilir. Geometride, iki vektör uzayı arasındaki bir afin dönüşüm ya da afin tasvir, bir lineer dönüşümü takiben yapılan bir ötelemeden ibarettir. Burada sabit terim olan b öteleme parametresine karşılık gelmektedir. Geometrik açıdan bakıldığında afin fonksiyonlar, doğruları yine doğrulara dönüştüren/resmeden fonksiyonlardır.

Ercan Gürvit

Marmara Üniversitesi / Fen – Edebiyat Fakültesi / Matematik Bölümü

Kaynaklar

[1] H. L. ROYDEN-Stanford University, “Real Analysis, Third Edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458”, ISBN:0-02-404151-3

[2] Gallini, Alberto. “Affine Function.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein.
http://mathworld.wolfram.com/AffineFunction.html

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Kalkülüs ve Optimizasyon

Optimizasyon eldeki kısıtlı kaynakları en verimli biçimde kullanmak olarak tanımlanabilir kısaca. Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');