(1/2)!=√(π)/2 mi?

Faktöriyel kavramını pek çok kişi bilir, “5! kaçtır?” diye sorsak hemen cevap verebilirsiniz belki. Ama sorumuz “(1/2)! ifadesinin sonucu kaçtır? ” şekline dönüşse eminiz biraz zorlanacaksınız. Şimdi bu ifadenin değerini gelin birlikte hesaplayalım.

Öncelikle bir tanım vermemiz gerekiyor. Gamma fonksiyonu olarak tanımlanan şey; 

şeklindedir. Hemen t=1/2 koyarsak elde edeceğimiz integral şu hale gelecektir.

şekline dönecektir. Şimdi integral dönüşümü için, x=u2 ve dx=2u.du dönüşümünü yapalım. İntegralimiz bu dönüşümler çerçevesinde aşağıda hale gelecektir.

İntegralde düzenleme yaparsak aşağıdaki görünüme ulaşır.

kalacaktır. Bu integralin ismi “Gauss İntegrali” olarak bilinir ki bu integralin sonucu aşağıdaki,

şekildedir. Bu integralin ispatını merak edenler referans kısımlarında bulunan ek açıklamalarda inceleyebilir. Dolayısıyla üstteki işlemimiz

şekline dönüşür. Bulunan değer ve aşağıdaki gama fonksiyonu ile faktöriyel arasında geçişi sağlayan kural çerçevesinde

(Tabi  t>1 olmak zorundadır.) Bu ifade nereden geldi derseniz.

ile ilişkilendirilir. Yukarıdaki iki integrali iyi inceleyin sanki akraba gibiler, kuralın da çıkış noktası budur. Daha ileri gitmek tehlikeli olduğundan Gama fonksiyonlarının daha derin konularına aşağıdaki bağlantılardan ulaşabilirsiniz.

Dönelim konumuza…

olacaktır. Yukarıdaki gama fonksiyonunda t=3/2 yazarsak bu durumda da 1/2! elde edilecektir. Gauss integralinden gelen çarpım 1/2’yi de unutmazsak,

elde edilecektir. Ders bitmiştir…

Referanslar ve İleri Okuma

(1)https://trans4mind.com/personal_development/mathematics/series/BinomialCoefficientsGamma.htm

(2)https://trans4mind.com/personal_development/mathematics/series/gaussianIntegral.htm

(3)https://i.ytimg.com/vi/QhDDpSju3uY/hqdefault.jpg

Matematiksel

Paylaşmak İsterseniz

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Pell Sayı Dizisi ve Gümüş Oran

Matematikle az çok ilgili olan herkes, önemli kavramlardan olan Fibonacci dizisini ve altın oranı bilir. …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');