Wavelets (dalgacıklar) ve Müzik

Mozart’ın bir senfonisini ele alıp incelediğimizi varsayalım. Acaba Mozart bu senfoniyi nasıl yazmış olabilir? Teknik olarak ciddi bir problem yaşamış olmalıydı!

Tüm enstrümanlar ayrı ayrı düşünüldüğünde bu notalar küçük bir kitap oluşturacak kadar yer kaplar. Bir müzisyen için müziği ifade etmenin tek yolu notalardan oluşan notasyon olmakla birlikte aslında bu tek yol değildir. Bu müzik, özellikle de dijital olarak kaydedilmeye kalkıldığında aynı senfoni tamamen farklı bir biçimde ifade edilecektir. Aktarılan şey artık Mozart’ın yazdığı notalar olmayacaktır. Senfoninin tümü sadece notalar dizisinden oluşmamakta, buna o senfoniyi çalan kişilerin kattığı nüanslar da eklenmektedir. Bazen forte veya pianissimo kelimelerinin eklendiğini görürüz. Bunların hiçbiri çok net belirteçler değildir. Notalar bir gösterge oluşturmakla birlikte, matematiksel olarak kodlamayı tamamlamamaktadırlar.

Bir senfoniyi farklı bir biçimde ifade etmenin üç yolunu ele alalım:

1. Kosinüs dalgalarına dönüştürülebilir (Fourier dönüşümü)
2. Kosinüs parçalarına dönüştürülebilir (Kısa zaman aralıklı Fourier dönüşümü)
3. Dalgacıklara dönüştürülebilir (Wavelets)

Fourier dönüşümü

Klasik metod tüm senfoniyi saf harmoniklerine ayrıştırmaktır. Bu durumda her enstrüman tek bir notayı çalacaktır. Yani sinyal veya diğer adıyla fonksiyon’un tümü a0 + a1cos(t) + . . . şeklindeki kosinüs dalgalarının toplamı olarak ifade edilecektir.

İşte bu, Joseph Fourier’in 172 yıl önce Paris’te yayınlamış olduğu Fourier dönüşümünden başka bir şey değildi. Sonsuz bir orkestra öngörmüştü Fourier: Orkestra şefine ihtiyaç olmayan ve müzisyenlerin sıkıntıdan patladıkları bir orkestra!

Tüm müzik parçaları ve benzer biçimde tüm sinyaller, Fourier dönüşümü yardımıyla saf harmoniklerine ayrıştırılarak analiz edilebilirler. Mühendisler bunu neredeyse içgüdüsel olarak yapmaktadırlar: Zaman eksenindeki her anda oluşan sinyal gücü, yerini bir dalganın genliğine bırakmaktadır. Burada esas önemli soru ise iyi bir sinyal kalitesi için hangi frekansın(sıklık) gerekeceğidir. Ve bu sorunun cevabı da iyi bir sıkıştırma elde edilebilmesi için frekansın oldukça yüksek olacağıdır.

Kısa zaman aralıklı Fourier dönüşümü

İkinci seçenek olarak kısa zaman aralıklı Fourier dönüşümünü ele alalım. Bu, senfonimizden kısa zaman aralıkları seçerek bunların herbirini ayrı ayrı dönüştürmek anlamına gelmektedir. Herbir bölüm için sinyal yine aynı şekilde kosinüs dalgalarının toplamı şeklinde ifade edilir. Müzisyenlerin herbiri yine tek bir nota çalmaktadır, ama bu kez her bölümde farklı bir genlik vardır.

Bunun dezavantajı bölümler arasında keskin geçişler olmasıdır. Duruma bağlı olarak bu işitilebilir de işitilemeyebilir de. Bir resimde ise bu durum, gözümüze çarpan keskin kenarlar olarak karşımıza çıkar.

Dalgacıklar(Wavelets)

Sinyal işleme konusunda bu yeni yaklaşım Mozart’ın ilk tasarladığı biçime daha yakın bir yapıdadır. Sonsuz uzunluktaki veya kesilmiş kosinüs dalgalarının yerini wavelet adındaki yeni yapı bloklarımız almıştır. Bunlar belli aralıklarla başlayıp biten küçük dalgalardan ibarettir.

Bu dalgacıkların tümü bir t anındaki standart melodinin ses düzeyini veren tek bir temel dalgacık olan w(t) dalgacığından üremektedir. Baslar melodiyi daha uzun zamana yaymakta, buna karşın, çellolar aynı melodiyi yarı zamanda ve iki kat daha yüksek frekansta çalmaktadırlar.

Bu hızlanma matematiksel olarak zaman değişkeni olan t yerine 2t koymak anlamına gelmektedir. Her ikisi de t = 0 anından başlamak üzere, ilk bass b1w(t) çalarken ilk çello c1w(2t) çalacaktır. Bir sonraki bass ve çello sırasıyla genlikleri b2 ve c2 olmak üzere b2w(t − 1) ve c2w(2t − 1) çalacaklardır. Bass t − 1 = 0, yani t = 1 anında, çello ise daha erken, yani 2t − 1 = 0 veya bir başka deyişle t = 1/2 anında devreye girecektir. Dolayısıyla tüm senfoniyi tamamlayabilmek için çelloların bass’lardan iki kat fazla olması gerekmektedir.

Violalar ve kemanlar da aynı pasajı fakat daha da hızlı çalmakta ve tüm bunlar üst üste çakışmaktadır (overlapping). Her seviyede frekans ikiye katlanmakta(bir oktav yukarı çıkılmakta) ve detayda yeni bir zenginlik oluşmaktadır.
“Hiperkemanlar” bass frekansının 16, 32 ve 64 katına çıkmakta ve bunu da çok küçük genliklerde yapmaktadırlar. İşte bu dalgacıklar üst üste eklenerek tüm senfoniyi oluşturmaktadırlar.

Hayatımız en ince ayrıntısına kadar matematiksel olarak tanımlanabilir, bir başka deyimle modellenebilir. Ancak bilimin tüm diğer dallarında olduğu gibi tüm bilimlerin anası diyebileceğimiz matematikte de hem yöntemsel hem de yöntemlerin gerektirdiği parametreler anlamında birçok eksiğimiz mevcut. Bunlar yeni çalışmalar ve gözlemler sonucu tamamlandıkça hayatı daha iyi anlamamız mümkün olabilecektir. Wavelets, yani dalgacıklar ise son 20 küsur yıl içinde bu doğrultuda atılmış dev adımlardan biri ve hızla gelişmekte olan bir analiz yöntemi. Bu nedenle konuya gelecek yazılarımızda sıklıkla değinmekte fayda görmekteyiz.

Ercan Gürvit

Marmara Üniversitesi

Kaynaklar

[1] Gilbert Strang, Wavelets, American Scientist 82, (Nisan 1994), 250–255

Matematiksel

 

 

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Geleceğin Eğitimi İçin Gerekli Yedi Bilgi

Eğitimde “bazı şeyleri” değiştirme gerekliliği, ülkemizde olduğu ka­dar, dünya düzeyinde de sürekli gündemde olan bir …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');