Üçgenin İç Açılarının 180 Derece Olmadığı Geometri: Küresel Geometri

İlkokuldan üniversiteye her öğrenim döneminde karşımıza çıkan en temel matematik bilgisi olan “üçgenin iç açılarının toplamı 180 derecedir” bilgisinin yetersiz kaldığı bazı durumlar vardır. Bu durumlardan biri ise küresel geometridir.ucgen-ucgen-ucgen

Küresel geometri diye adlandırdığımız bu sistem bize; salt üçgenin iç açılarının 180 derece olmadığını, aynı zamanda üçgenin alanı büyüdükçe iç açıların da büyüdüğünü söylüyor. Yine bu geometriye göre bir noktadan dışındaki bir doğruya hiçbir paralel doğru çizilemez ve doğrular iki noktada kesişen büyük çemberlerdir.

1) Üçgenin iç açılarının toplamı 180 derece değildir: Evet küresel bir şekilde herhangi üç noktayı ele alalım bunların birleşiminden bir üçgen oluşturursak iç açıları 180 derece olmayacak. Bunu bir örnek ile açıklayalım. Aklımıza standart düz bir Türkiye haritasını getirip buradan üç şehir seçtiğimizi farz edelim. Örneğin Ankara, İzmir ve İstanbul olsun. Bu üç şehri düz doğrular ile birleştirirsek bir üçgen elde ederiz. Bu üçgenin iç açıları 180 derece olacaktır. Fakat Dünya haritada olduğu gibi düz değil yuvarlaktır. Şimdi elimizdeki bu haritayı dört bir yanından bükersek (Dünya’nın bir kesiti gibi) işte o zaman doğruları yanlış çizdiğimizi göreceğiz. Bu yanlış doğrular (noktaları birleştirdiğimiz) düzeltilince ortaya çıkan üçgenin iç açıları 180’den büyük olacaktır. kuresel-ucgen

2) Bir noktadan dışındaki bir doğruya hiçbir paralel doğru çizilemez ve doğrular iki noktada kesişen büyük çemberlerdir. Bunu önce açıklmaya çalışalım sonra da örnekle pekiştirelim. Öklid geometrisine göre herhangi faklı yerlerde, iki nokta veya bir nokta ve bir doğru ele alalım. Bu nokta ve doğrulardan birbirine paralel iki doğru elde edebiliriz. Yani iki çubuğu düz bir masaya birbirine paralel yerleştirebiliriz. Ayrıca Öklid geometrisinde birbirine paralel iki doğru sonsuzda dahi birleşmez. Fakat bunu bir dairede yapamayız. Elimize çok büyük bir futbol topu alalım ve tam ekvatoruna paralel olacak şekilde yerleştirelim. Işte sorun burada başlıyor. İki çubuğu esnetebildiğimizi düşünelim, çünkü bu çubukları tam zemine oturtmamız lazım. Paralel bu çubukları esnetip zemine oturtursanız ve topu biraz daha şişirirseniz (şişirmeden de aynı sonucu verir fakat daha açıklayıcı olsun diye şişiriyoruz) bu paralelik gittikçe bozulur ve aralarındaki mesafe açılır. Ayrıca bu çubukları uzatabildiğimizi düşünelim. Bu “paralel olarak koyduğumuz” iki çubuk kutup noktalarında birleşeceklerdir. Ekvatordan kutuplara gidildikçe aralarındaki mesafede küçülecektir.enlem-boylam-22342

Gördüğünüz gibi “paralel” iki boylam arası ekvatordan kutuplara gidildikçe aralarındaki mesafe azalıyor. İki doğru ise güney ve kuzey kutbunda kesişince bir çember oluştururlar.

İşte bir üçgenin iç açılarının 180 derece olmadığı küresel geometri bize bunları söylüyor; peki bunlar bize nasıl bir avantaj sağlıyor? Bunun cevabına bir başka soru üzerinden bakalım…ucak-rotasi-22

Burada bir uçak rotası var neden bu rota mor ile çizilen düz çizgi değil de üstteki gibi eğimli?

Öklit geometrisine göre hipotenüs en kısa mesafedir, burada Kanada tarafına kırmızı çizgiye bir nokta koysak bir üçgen elde edebiliriz ve öklitsel mantığa göre hipotenüsten gidersek daha kısa mesafede yol alabiliriz. Fakat şu haritayı merkezinden şişirdiğimizi düşünelim. Yukarıda da bahsettiğimiz gibi ekvatora yakın yerler arasında mesafe kutuplara yakın yerlerden daha uzaktır. Hatta bu konu anlatılırken çok bilindik bir örnek ile bu durmu açıklayalım. Newyork ile Madrid arasındaki en kısa mesafeyi nasıl gösterirsiniz?

Öklitçi düşünce tarzına göre harita üzerinde Madrid ve Newyork arasında düz bir çizgi çizersiniz. Bir uçakla bu çizgi üzerinde yol alırsanız 3707 mil yol gidersiniz. Ancak büyük çember boyunca uçarsanız yani kuzeydoğuya yönelip, sonra yavaş yavaş güneydoğuya yönelirseniz kat ettiğiniz mesafe 3605 mil olacaktır. Bu yolun yerküreyi düz gösteren harita üzerindeki görüntüsü aldatıcıdır.

Bu bilgiler dahilinde artık siz de küresel şekillerde en yakına en kolay şekilde gidebilirsiniz.

Süleyman YEŞİL

Kaynak: http://www.kozmikanafor.com/

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Nedir Bu P=NP Problemi?

“Biri bana öyle bir program yazsın ki, bu prog­ram, 1’den 50’ye kadar olan sayıların kareköklerini …

Bir Yorum

  1. Bahsedilen olay denizcilikte Büyük Daire Seyri olarak tanımlanır.

    Yeryüzünde belirli iki nokta arasındaki en kısa yol bu iki noktadan geçen yada bu iki noktayı birleştiren büyük daire yayıdır.

    Büyük daire yayları dünyayı iki eşit parçaya böler. Açısal olarak derece cinsinden 360 derecedir ve doğal olarak 360 x 60 = 21600 dakikadır. Her bir dakika 1 NM (Nautical Mile / Deniz Mili) olarak kabul edilir. Kısaca dünyayı çepeçevre dolaşan bir büyük daire yayının uzunluğu 21600 Deniz Mili dir.

    Mercator Projection metoduyla yapılmış haritalarda her iki nokta arasında çizilen düz bir rota, daha kısa gibi gözükse de, gerçekte bu doğru değildir. Bu iki nokta arasında var olduğu farz edilen “Büyük Daire Yayı” daha kısadır.

    Mercator Projection; ekvator etrafında bir siferoide teğet olan ve bir silindir üzerine matematik olarak teşkil edilen bir silindirik harita projeksiyonu. Bu projeksiyona göre enlemler arasındaki açıklıklar, herhangi bir yerdeki küçük bir sahada ölçek, bütün istikametlerde aynı kalacak şekilde tayin edilir.
    Merkezinde bir ışık kaynağı bulunan küresel dünyanın, ekvatoruna teğet olarak geçirilen bir silindir vasıtasıyla harita elde edilmesini sağlayan bir projeksiyondur. Merkator projeksiyonuna sahip olan haritalarda sadece ekvatora yakın olan bölgelerde doğru sonuçlar alınır. Kutuplara doğru gittikçe şekiller bozulur.

    Peki bu büyük daire yayı nasıl tespit edilecek?
    Gnomonic projeksiyonla oluşturulan haritalarda çizilen düz bir çizgi bir büyük daire yayı olduğundan bu haritalar büyük daire seyri için uygundurlar.

    Gnomonik harita projeksiyonu ya da merkezi projeksiyon ; küre üzerindeki tüm büyük dairelerin izdüşümlerini düz çizgiler gibi görüntüleyen harita projeksiyonudur. Gnomonik harita üzerinde iki uç nokta arasındaki çizgi bu segmentlerin arasındaki en kısa yolu gösterir. Projeksiyon merkezi referans kürenin merkezidir. Projeksiyonun bu özelliğinden dolayı ortodromların izdüşümleri doğru şeklindedir. Alan, uzunluk veya açı koruma amacı yoktur.

    Büyük daire seyri için hazırlanmış 15 gnomonic harita yayınlanmıştır. Bunlar ekvatoral düzlemleri dışında Atlantik, Pasifik ve Hint Okyanusunu kapsamaktadır.

    Dünya spheroid şekli nedeniyle dünya üzerinde iki nokta arasındaki en kısa mesafe bir büyük daire yayından geçer. Kerte hattı ile çizilen rotalar kısa mesafede göz ardı edilebilecek yol kaybına neden olsa da uzun mesafelerde büyük daire seyri yapmamak zaman ve yakıt kaybına neden olacaktır.

    Yukarıdaki metod tamamen çizimle yapılabilir.

    Bir de bunun hesapla yapılan yöntemi vardır. Hesaplama süresi biraz uzun olabilir.
    Ancak yöntem kolay ve basittir.

    Bunun için ;
    http://tornistan.blogspot.com.tr/2013/02/buyuk-daire-seyri-great-circle.html

    linkini incelemenizi öneririm.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir