Trafik Işıklarının Matematiksel Modellemesi

Matematiksel Modelleme olarak adlandırılan matematiğin bir alt dalının olduğunu duymuşsunuzdur. Günlük hayatta karşılaşılan problemlere matematik aracılığı ile bir çözüm arayışı içine girmenin bir sonucudur bu dal. İşte matematiksel modelleme yardımı ile varolan en önemli sorunlarımızdan biri olan trafik sorunu için matematikçiler 1950 yıllarından bu yana trafiğin yoğun ve çekilmez olduğu bölgelerde trafik lambaları üzerinde çalışmakta.

Trafikte yapılan modelleme sürücü ya da trafiğe bağlı olarak değişkenlik göstermez. Modellemenin asıl durumu zaman fonksiyonu ile tanımlanır. Bunu daha iyi anlamak için bir  trafik lambasını göz önüne getirin. Bir trafik lambası araba olmasa da yanmamazlık yapmaz!

Bir modelleme, trafiği tek yönlü olarak hesaplar. Dolayısıyla, trafik yoğunluğu tek bir mekansal boyuta bağlıdır. Makroskopik modellerin bu sınıfındaki yönetim denklemleri, gaz dinamiği denklemlerinden esinlenmiştir.

Yakın tarihli bir çok çalışma daha büyük yol ağlarının bir yapı taşı oluşturan trafik kavşakları üzerinde yoğunlaşmıştır. Burada modeller, genellikle bireysel sürücülerin seyahat süresini en aza indirmeyi veya belirli kavşaktaki trafik akışını maksimize etmeyi amaçlamaktadır.

“SIAM” adlı araştırma dergisinde yayınlanan bir makalede yazarlardan Göttlich Andreas Postschka ve Ute Ziegler trafik akışı koruma yasalarını şebekelere uygulayarak kentsel yol kavşakları için en uygun trafik ışığı hesaplama problemini ele alıyor.

Yazar Simone Göttlich, “ Taşıt trafiğini modelleyen matematiksel denklemler, akışkan bir sıvıya benzer şekilde oluşan trafik yoğunluğunu denklemlerini oluşturup yorumlama imkanı vermektedir. Trafik ışıkları, trafik akışını yol şebekelerinde yeniden yönlendirmek için gerekli bir araçtır ve bu nedenle, trafik hacmi matematiksel temellere dayanan tıkanıklığı azaltma potansiyelini sunar.” şeklinde bir açıklama yapmıştır.

Genellikle, hücre iletim, akışkan, karışık tamsayılı formülasyonlar ve buluşsal yöntemlere dayanan trafik optimizasyon modelleri, trafik ışıkları için yeşil ve kırmızı fazların optimum çevrim uzunluğunu bulmaya çalışır.

Yazar Andreas Potschka “ Trafik ışık programlarının matematiksel optimizasyonu, hiperbolik kısmi diferansiyel denklemlere dayalı sürekli trafik akış modelleri ile kombinasyonel optimizasyon dünyasını birleştirdiği için son derece zor bir hal almaktadır.” diyor ve araştırma, bu yeni sorun için pratik bir optimizasyon algoritmalarına doğru adımların kesin kanıtı niteliğinde olduğunu söylüyor.

Bir kavşağa geldiniz. Kırmızı ışık yanıyor. Fakat sağ taraftaki araçların geçtiğini görüyorsunuz. Peki bu matematiksel olarak nasıl gerçekleşiyor? Araştırmacılar trafik ışıklarının tüm çözümlerinin mevcut olduğu bir fonksiyon tanımlar ve bu fonksiyonun kırmızı ışık için belirli bir çözüm aralığını alır. Mesela 0-100 arası diyebiliriz. Bu çözüm aralığında size kırmızı ışık yanacaktır. Tüm çözümler ise 0-200 aralığında olsun. Dolayısıyla yeşil ışık için geriye 100-200 aralığı kalacaktır. Hemen şunu soruyoruz? Peki sarı ışık ne zaman yanacaktır? Size sarı ışık yandığı an sağ tarafta da yeşil ışık yanacaktır. Test ediniz! Bu durumda çözüm tam 100 olduğunda yani 0-200 arasındaki çözümün tam ortası durumuna geldiğinde sarı ışık yanacaktır. Tam yanmalı trafik ışıkları bu şekilde yanmaktadır. Şimdi de başka bir duruma göz atalım.

Gece yolda ilerlediğinizde ki bu gecenin ileriki vakitlerinde karşımıza çıkacaktır, trafik ışıklarının yanıp yanıp söndüğünü göreceksiniz. Bir trafik lambasının bu şekilde kesik kesik yanmasının temeli yukarıda bahsettiğimiz değerlerin (çözüm aralığının) birer birer değilde arada bir sayı atlanarak çözüm elde edilmesi şeklinde olacaktır. Soruyorum hangi ışığı kesik kesik yakalım? Kırmızı mı? “Kontrollü geçiniz” şeklinde algılıyoruz ve maalesef yollar boş olduğundan dolayı hızımızda bir değişiklik yapmıyoruz. Kırmızı ışığın kesik kesik olması için kırmızı çözüm aralığını birer birer değil de ne kadar arada boşluk bırakarak çözüm yapılması gerekmektedir. Mesela şöyle düşünebiliriz. Kırmızı ışığın 3 sn bir yanıp yanıp sönmesini istiyoruz. Bu durumda çözüm 0-3-6-9… şeklinde bir dizinin oluşmasına olanak sağlamamız gerekecektir. İşte tüm mantık bu! Ve görüldüğü üzere de matematik hiçbir işe yaramıyor!!!

“Lighthill, Whitham ve Richards’ın 1955-56 (1, 2) çalışmasından başlayarak, hiperbolik trafik modelleri farklı açılardan incelenmiş ve model uzantıları, teorik ve sayısal araştırmalar, daha detaylandırılmıştır. Göttlich “Şu anki araştırma, ağa bağlı sorunlar, istatistiksel veri değerlendirmesi ve mühendislik uygulamaları arasındaki arayüzle giderek daha fazla ilgileniyor. Farklı yaklaşımların benzerlik ve farklılıklarının anlaşılması sıklıkla zorluklar ortaya koyuyor” dedi.

Potschka, gelecekteki araştırmalar için birkaç önemli nokta olduğunu söylemektedir. Örneğin kısmi dış konveksifikasyonun, herhangi bir ayrıklık oluşmadan önce işlev alanı içerisinde nasıl formüle edilebileceğini anlamak gerek. Korunum yasalarının verimli simülasyonu için yüksek çözünürlüklü planlara ihtiyaç duyulsa da, bu yaklaşımlar genelde ayrıştırılmış kısıtlamalarda diferansiyellenebilirlik göstermez ve bu da tüm optimizasyon yöntemleri ve çözülmesi gereken büyük bir zorluktur.

Referans

1Simone Göttlich, Andreas Potschka, Ute Ziegler. Partial Outer Convexification for Traffic Light Optimization in Road Networks. SIAM Journal on Scientific Computing, 2017; 39 (1): B53 DOI: 10.1137/15M1048197

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Matematikçi Şairler Algoritması – Turgut Uyar

“nedir sonsuzdan bir önceki sayının adı diyelim sonsuz eksi bir sonsuz eksi bir hayatın adıdır …

Bir Yorum

  1. söyleyecek biri olmadığından sizin gibi birine sorayım dedim aşağıdaki linklerdeki çocuk hakkındaki görüşleriniz nelerdir?

    https://www.youtube.com/watch?v=N6cpnL8j3Gs&feature=youtu.be

    https://www.youtube.com/watch?v=Not-ErPI58A&t=3s

    https://www.youtube.com/watch?v=UW92oCq4Vp8

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');