Sonsuz Küçüklerin Kısa Tarihi: Modern Analizi Doğuran Fikir

Doğru, düzlem ve katı cisimlerdeki sonsuzluğu görmeyi öğrenmek, matematiği sonsuza dek değiştirdi.

Yunan filozof Hippasus’tan Fransız matematikçi Cauchy’e uzanan bir yolculuğun hikayesi…

Credit: Chris 73/Wikimedia Commons

Milattan önce 5. Yüzyılda gizli Pisagor kardeşliğinin bir üyesi olan Metanpotumlu Yunan filozof Hippasus güney İtalya’daki evinden ayrıldı ve bir gemiye bindi. Hippasus’un neden seyahat ettiğini ya da nereye gideceğini bilmiyoruz ancak yapamadığını biliyoruz. Efsaneye göre gemi kıyıdan uzaklaştığında, zavallı filozof Pisagor kardeşliğindeki dostları tarafından saldırıya uğradı ve denize atıldı.

Pisagorcuların arkadaşlarına aniden saldırmaları için iyi sebepleri vardı. Kurucuları Pisagor’un öğretilerini takip eden Pisagorcular, dünyadaki her şeyin tam sayılar ve tam sayıların oranları ile tanımlanabileceğine tutkulu bir şekilde inanıyorlardı. Fakat Hippasus, bir karenin köşegeninin o karenin kenarıyla kıyaslanamayacağını yani bugün söylediğimiz şekliyle kenarları 1 cm olan bir karenin köşegenini veren  sayısının irrasyonel olduğunu kanıtladı. Bu, karenin kenarı ve köşegeni kaç kere bölünürse bölünsün sonucu veren büyüklükler asla eşit olmayacaktır anlamına geliyor.

Hippasus’un keşfi batı matematiğinin akışını birçok yönden değiştirdi. Bir yönden Pisagorun teorisi hakkında hüküm vererek bir karenin kenar ve köşegeninin oranının basit bir oran şeklinde tanımlanamayacağını gösterdi. Diğer yandan doğruların bir arada dizilmiş küçük noktalar dizisi olarak tanımlanamayacağını yani bu noktaların bütün büyüklükler için ortak bir ölçü olarak işe yaramayacağını gösterdi. Hippasus, ayrık noktalar ve sayıların doğrular ve yüzeyler gibi sürekli oluşumları kapsayan bir dünyayı asla tamamen yakalayamayacağını kanıtladı. Takip eden zamanda, tek doğru matematik bilimi sürekli büyüklükler arasındaki ilişkilerin çalışıldığı geometri idi.

Hippasus

Gelecek iki bin yılda Hippasus’un dersi büyük ölçüde tartışmasız kaldı ve geometri üstün geldi. 16. ve 17. yüzyılın sonuna gelmeden yeni nesil matematikçiler, Simon Stevin(Hollanda), Thomas Harriot ve John Wallisve (İngiltere) ve özellikle Bonaventura Cavalieri, Evangelista Toriçelli(İtalya) sürekli büyüklükler ile ayrık noktalar arasındaki mutlak ayrımı derinlemesine incelemeye başladı. Eğer bir doğruyu sonsuz küçük noktaların dizisi olduğunu ve benzer şekilde bir düzlemin yan yana dizilmiş doğrulardan ve katı cisimlerin birbiri üstüne yığılmış düzlemlerden oluştuğunu varsaysaydık ne olurdu diye merak ettiler.

Hızlı bir şekilde buldukları sonuçlar muhteşemdi. Bu problemli varsayım yardımıyla geometrik eğrilerin uzunluklarını ve eğimlerini, geometrik şekillerin alanlarını ve katı cisimlerin hacimlerini kolayca hesaplayabildiler. Geleneksel geometriyi kullandıklarında sonuçlar ya son derece zor ya da kısaca imkânsız olacaktı. 1700lerde Isaac Newton ve Gottfried Leibniz, bu yaklaşımı, gezegenlerin hareketinden bir ipin titreşimleri ve topların uçuşuna kadar her şeye uygulanabilen “calculus” olarak bildiğimiz güçlü algoritmaya dönüştürmüşlerdi.

Cauchy

Yeni sonsuz küçükler metodunun öncüleri kendi yaklaşımlarının istikrarsız bir mantıksal temele dayandıklarını biliyorlardı fakat çoğunlukla bunu umursamadılar. Metotları doğru sonuçları verdiği sürece esasında mantıklı olduğu sonucuna vardılar. Fakat diğerleri bu kadar emin değildi. İtalya’daki Cizvitler’den İngiltere’deki filozof Bishop George Berkeley’ye yapılan eleştiriler, sonsuz küçüklerin matematiğin ve hatta kendinin temelini çürüttüğü ve kaçınılmaz olarak ciddi hatalara neden olacağı şeklinde suçlamalar içeriyordu. Ve böylece tartışma hiddetlendi.

Sonunda bu meseleyi rafa kaldırmak 19. Yüzyılın başında Fransız matematikçi Augustin-Louis Cauchy’e düştü. Cauchy yeni matematiğin probleminin maddesel gerçekliğe uygun olarak kabul edilmesiyle ortaya çıktığını fark etti. Hippasus’un gösterdiği asla işe yaramayacaktı. Ve böylece Cauchy 1821 de “Cours d’Analyse” de sezgisel olarak oluşan sonsuz küçük noktaların birleşmesiyle oluşan doğru fikrine başvurmadan analizi yeniden yapılandırdı. Cauchy, temel kavramlar olan türev ve integrali bir eğrinin eğiminin ve bir şeklin alanının maddesel kavramlarını referans almadan sonsuz serilerin limiti olarak titizlikle tanımladı.

Cauchy, analizi titiz bir matematiksel sisteme dönüştürerek iki bin yıldan fazla süren bir tartışmayı sonlandırmıştı. Milattan önce 5. Yüzyılda Hippasus matematiğin evreni asla tamamen tanımlayamayacağını gösterdi. Milattan sonra 19. Yüzyılda Cauchy böyle olmak zorunda olmadığını gösterdi: Matematik hayatta kalacak, zenginleşecek ve maddi gerçeklerin zincirinden kurtulacaktı. Ve modern matematik doğdu.

Elif Köse

Kaynak: https://www.scientificamerican.com/article/a-brief-history-of-infinitesimals-the-idea-that-gave-birth-to-modern-calculus/

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Newton’un Flüksiyon Yöntemi

Biz matematikçileri heyecanlandıran şeylerden birisi de matematikteki herhangi bir kavramın, onu bulan kişinin gözünden ortaya …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir