SIAM’ın Yeni Bilimsel Dergisi: Uygulamalı Cebir ve Geometri

Uygulamalı matematik, bilimsel hesaplama alanı ile birlikte gerçek yaşam problemlerinin çözümü için kritiktir. Bu anlamda üniversite-sanayi işbirliğinde köprü vazifesi görür.

Uygulamalı matematiğin bilim ve teknoloji dünyaları ile daha çok etkiletişimde olması, bu alanlarla işbirliğinin artması için 1952 yılında SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics – Endüstriyel ve Uygulamalı Matematik Topluluğu) adında uluslararası bir topluluk kurulmuştur. Şu anda 14000’den fazla üyesi olan bu topluluğun amacı uygulamalı matematikteki bilimsel çalışmaların ilerlemesine katkıda bulunmak, bu alandaki merakı arttırmak ve toplumu bilgilendirmek. Bunu da yayımladığı kitaplar, bilimsel dergiler, düzenlediği konferanslar, çevirimiçi kaynaklar ve buna benzer diğer aktiviteleri sayesinde yapmaktadır. SIAM bilimsel dergileri şu anda uygulamalı matematik alanındaki en prestijli dergilerden biridir.

2017 şubat ayından itibaren de yeni bir dergi ile okuyucularına seslenecek. Bu dergi SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry (SIAGA) (SIAM Uygulamalı Cebir ve Geometri Dergisi).

Dergi, cebir, geometri ve topoloji alanındaki bilimsel gelişmeleri ve bu gelişmelerin gerçek yaşam problemlerindeki etkisiyle ilgili makaleler yayımlayacak. Uygulama alanları, biyoloji ve şifre biliminden bilgisayar grafiğine, kodlama teorisinden veri bilimi ve robotik alanına kadar bir çok farklı alanı kapsıyor.

Derginin kapağında bu farklı alanları temsilen yedi farklı resim bulunmaktadır. Gelin bu yazımızda ilkine göz atalım.

Polinom Optimizasyonu

Optimizasyon, uygulamalı matematiğin temel direği olup biyoloji, mühendislik, finans gibi farklı birçok alanda kullanılmaktadır. Polinom optimizasyonu, polinom denklemleri ile belirlenen kısıtlayıcılar göz önünde bulundurularak bir polinom fonksiyonunun maksimize edilmesiyle ya da en aza indirgenmesiyle ilgilenir. Olurlu bölge (feasible region), diğer bir ifadeyle gerekli kısıtlayıcıları sağlayan noktalar kümesi, ilgilendiğimiz geometrik nesnedir. Bir optimizasyon probleminin kısıtlayıcılarının oluşturduğu geometrik yapı, olurlu bölgenin geometrik şekli hakkında bize bilgi verir. Olurlu bölgenin sınır bilgisi çok önemlidir, çünkü burası genellikle aradığımız en iyi (optimum) çözümün bulunduğu yerdir.

Olurlu bölgenin geometrisi, optimizasyon probleminin önemli yönlerine ışık tutar. Örneğin, bu geometrik yapı üzerindeki fonksiyonun maksimumunu bulmak için en uygun algoritmanın seçiminde yol gösterici olabilir. Belli bir tip optimizasyon probleminin özelliklerinden kaynaklı açığa çıkan bu geometrik şekiller bizleri matematiğin farklı uzmanlık alanlarına yönlendirir.

Şekil 1: Polinom Optimizasyonu*

Yarı-tanımlı optimizasyon (semi-definite optimization), doğrusal optimizasyonun (linear optimization) genelleştirilmesidir. Bu genelleştirmeyi şu şekilde açıklayabiliriz. Doğrusal optimizasyonda negatif olmama kısıtı değişken vektörün elemanları için tanımlanmışken, i.e. değişken vektörün elemanlarının sıfır veya pozitif değerde olması gerekir, yarı-tanımlı optimizasyonda negatif olmama kısıtı matris için tanımlanmıştır. Buradaki kısıt reel simetrik matrislerin pozitif yarı-tanımlı olmasıdır. Pozitif yarı-tanımlı matrislerin diğer kısıtların tanımladığı doğrusal uzayla kesişmesinden spectrahedron denilen geometrik şekiller açığa çıkar. Sonuç olarak,  yarı-tanımlı optimizasyon probleminin olurlu bölgesi spectrahedron geometrik şekli ile tanımlanır. Yarı-tanımlı optimizasyon problemleri genellikle karmaşık  problemlerin anlaşılması için önemli bir ara basamak olarak görülür. Yarı-tanımlı optimizasyon ve uygulamalı geometri ile bağlantısı için daha fazla bilgiye [1] numaralı referanstan ulaşabilirsiniz.

Şekil 1 ne ifade eder?

Doğrusal olmayan bir sınır (nonlinear boundary) ile doğal olarak oluşan olurlu bölge bir çemberdir. Diğer bir ifadeyle olurlu bölge sabit bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesinden oluşur. Çemberin merkezini x-y kartezyen koordinat sisteminde olarak tanımlarsak çemberin denklemi şu biçimde yazılabilir:
Bu denklemde çemberin yarıçapıdır.

Belki istediğimiz tam olarak çember değil bunun yerine iki sabit noktayı referans alarak bu iki noktadan sabit bir mesafede olmak istiyor olabiliriz. Örneğin, hem tren istasyonuna hem de feribot terminaline yakın olmak istiyor olabiliriz. İki noktaya uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların tanımladığı geometrik şekil elipstir. Elipsin denklemi şu şekilde yazılabilir:

Diyelim ki, üç fabrika, beş tren istasyonu ve bir feribot terminalini içeren bir problem için, bu düşünceyi k-elips olarak genelleştirmek istiyoruz. Bu durumda, verilen k noktaya (istasyona) uzaklıkları toplamı sabit olan noktalar kümesini bulmamız gerekir. k odak noktasının konumunu , olarak tanımlayalım ve bu noktalara olan mesafeyi de bilinmeyeni ile gösterelim. Bu durumda şekil 1,  noktalarının noktalarına uzaklıkları toplamı olan noktaların oluşturduğu yüzeyi göstermektedir. Bu yüzeyin denklemi ise şu şekilde verilebilir:

Bir polinom denklemi, şekil 1 de gösterilen bu kısıtı tanımlayabilir. Bu kısıt, belirli bir yarı-tanımlı optimizasyon problemindeki olurlu bölgenin doğrusal olmayan sınırıdır. Şekil 1’de merkezdeki konveks (dış bükey) kısım, minimizasyon probleminin sonucunun olduğu bölgedir.  Eğer ilgilendiğimiz  mesafesi sabitse, o zaman resim boyunca yatay bir dilim alınır ve optimizasyon bu yatay dilim üzerinde gerçekleştirilir.

Çeviri: Selime Gürol Senoner

Kaynak: https://sinews.siam.org/Details-Page/applied-algebra-and-geometry-a-siaga-of-seven-pictures-2

* Bu sekil Cynthia Vinzant tarafından hazırlanmıştır ve ilk versiyonu [2] de gösterilmiştir.

[1] Blekherman, G., Parrilo, P., & Thomas, R. (2013). Semidefinite Optimization and Convex Algebraic Geometry. MOS-SIAM Series on Optimization. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics.

[2] Nie, J., Parrilo, P., & Sturmfels, B. (2008). Semidefinite representation of the k-ellipse. In Algorithms in Algebraic Geometry (pp. 117-132). The IMA Volumes in Mathematics and its Applications, book 146. New York, NY: Springer Science+Business Media.

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Selime Gürol Senoner

Ankara Üniversitesi Matematik Bölümü’nden mezun olduktan sonra ODTU Uygulamalı Matematik Enstitüsü’nde yüksek lisans ve Fransa’da bulunan Institut National Polytechnique de Toulouse’da uygulamalı matematik alanında doktoramı yaptım. Doktora öncesi TUBITAK Uzay’da 4 yıl araştırmacı olarak çalıştım. Su anda ise matematikçi olarak Fransa’da bulunan CERFACS adındaki bir araştırma enstitüsünde çalışmaktayım. Eğitim sisteminden kaynaklı matematik denilince genelde aklımıza oldukça soyut olan ezberlenecek formüller gelir. Aslında matematiği hayata dair olan her şeyde görebiliriz. Sadece farklı gözlüklere ihtiyacımız var. Bu web sitesinde de bu gözlükleri sizlere sağlayabilmek, matematiğe olan merakı arttırmak ve en önemlisi araştırmacı ruhunu açığa çıkarabilmek dileğiyle…

Bunlara da Göz Atın

Matematikçi Şairler Algoritması – Turgut Uyar

“nedir sonsuzdan bir önceki sayının adı diyelim sonsuz eksi bir sonsuz eksi bir hayatın adıdır …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');