Saat Ustasıyla Profesörün Hikayesi; Stern-Brocot Sayı Ağacı

Bu yazıda sizlere bir matematikçiyle bir saatçinin ilginç bir şekilde kesişen hikayesini anlatalım. Gözlemleyemediğimiz halde matematiğin günlük yaşantımızın nasıl temel bir parçası olduğuna dair güzel bir örnek olabilir bu hikaye…

Moritz Abraham Stern

Hikayemizin kahramanlarından birisi Moritz Abraham Stern (1807-1894).

Kendisi iyi bilinen bir Alman matematikçi, dönemin ünlü matematikçileri Gauss ve Riemann‘a yakın isimlerden.

Hikayemizin diğer kahramanı ise Fransız saat ustası Achille Brocot (1817-1878). Kendisi horolojiye (saatçilik sanatı/bilimi) katkıları olmuş saatçi bir ailenin ferdi. Bu iki insanın hikayemize konu olmasını sağlayan olay ise, birbirinden bağımsız ve habersiz bir şekilde, hemen hemen aynı zaman aralığında keşfettikleri bir yaklaşık hesap tekniği. Birisi bu keşfi mesleği olan pür matematiğe hizmet için yaparken diğeri üreteceği saatin mekanizmasına yerleştireceği dişlilerin diş sayısını hesaplamak için yapıyordu. Her ikisi de yaptıkları bu çalışmayı farklı dergilerde yayınlatınca bu keşif de matematik literatürüne Stern-Brocot sayı ağacı olarak geçti.

Şimdi biraz bu Stern-Brocot sayılarını tanıyalım. Konuyu ispatsız olarak inceleyelim, bu durumda sadece temel dört işlem bilgisine ihtiyacımız olacak. İlgilenenler özelliklerin ispatlarını yazının sonundaki kaynaklarda bulabilirler.

Sıfır ve sonsuzu “temsilen” 0/1 ve 1/0 kesirlerini ele alıyoruz. Şimdi bu kesirlerin paylarını ve paydalarını toplayarak 1/1 kesrini elde ediyoruz. Bu kesir kendisini oluşturan iki kesrin arasında bir değerdir. Şimdi sayı doğrumuzda üç kesir var: sırasıyla 0/11/1 ve 1/0. Az önceki işlemi 0/1 ile 1/1 kesirlerine uygulayarak bu iki kesir arasında bir değer olan 1/2 kesirini, ve 1/1 ile 1/0 kesirlerine uygulayarak da bunların arasında yer alan 2/1 kesirini elde ederiz. Şu anda sayı doğrumuzda beş kesir var, bunlar sırasıyla 0/11/21/12/1 ve 1/0. Aynı işlemi tekrarlayarak bu kesirlerin aralarında yeni kesirler elde edebiliriz istediğimiz kadar…

Bu şekilde devam ederek elde edilen sayılara Stern-Brocot sayıları denir. Sonsuza kadar (sürekli olarak aynı işlem uygulanarak) elde edilen sayılar da Stern-Brocot Sayı Ağacını oluşturur. Bu sayıların birçok ilginç özelliği var, ama en önemlisi aşağıdaki gibidir.

  • Negatif olmayan her rasyonel sayı sayı ağacında yer alır ve sadece bir defa yer alır. Üstelik en sade biçimde yer alır. (yani pay ve payda aralarında asal olarak, sadeleşemez biçimde)

Şimdi bu sayı ağacıyla nasıl yaklaşık hesap yapıldığını bir örnek üzerinde görelim. Örneğin 23/191 sayısına istediğimiz kadar yakınlıkta başka bir rasyonel sayı bulmaya çalışalım.

23/191 kesri 1/8 ile 1/9 sayıları arasında olduğu için bu iki kesirden başlayarak bir Stern-Brocot ağacı oluşturacağız. Sayılarımızı bir sayı doğrusu üzerinde değil de bir tablo ile göstereceğiz. Yani Brocot hesaplamaya aşağıdaki gibi bir tablo ile başlamıştır.

Bu tabloda p sütununda kesrin payıq sütununda da kesrin paydası belirtiliyor. Yani ilk satırda p/q = 1/9, ve son satırda da p/q = 1/8 kesirleri belirtiliyor.

Hata payı ise A/p ile veriliyor, yani Brocot 23/191 – 1/9 = 16 hesabını yapmış ve bunu belirtmek için A kolonuna 16 değerini yazmış. Benzer şekilde 23/191 – 1/8 = -7 işlemini yapıp 1/8 kesirinin A değerini -7 olarak işaretlemiştir. Burada p sayısı ne olursa olsun A sayısı tamsayı olarak elde edilir, bunun ispatını kaynaklarda bulabilirsiniz.

Şimdi Stern-Brocot sayı ağacımızı oluşturmaya başlayalım, yani bu tabloyu dolduralım. İlk sayımız (1+1)/(9+8) = 2/17 eder. Bu işlemin temelini oluşturan özellik ise burada devreye giriyor, Yeni kesrin A değeri, kendisini oluşturan kesirlerin A değerlerinin toplamından ibarettir.

Yani 2/17 kesrinin A değerini elde etmek için 23/191 – 2/17 = 9/2 işlemini yapmadan, doğrudan 16-7 = 9 işlemi ile bu değeri elde ediyoruz. Yani şimdi tablomuz aşağıdaki gibi olmalı.

Şimdi benzer şekilde 2/17 + 1/8 = 3/25 ve A = 9-7 =2 elde edilir. Bu şekilde Ağaç hızlı bir şekilde tamamlanır. Tablonun son hali aşağıdaki gibi olur.

Gördüğünüz gibi hata 23/191 kesrine yaklaştıkça hata payı 0 a yaklaşıyor. Yapacağımız işlemde bizim için uygun olan sayıya ve ihmal edebileceğimiz bir hata payı ile yaklaşabiliriz. Yukarıdaki tabloya göre örneğin 23/191 kesri yerine 13/108  kesrini alırsak sadece 1/13 hata yapmış oluruz, ve paydası asal olmayan bir kesir ile çalışmış oluruz böylece. Belki iki kesrin çarpımı şeklinde yazmak bizim lehimizedir 😉

Rasyonel olmayan sayılara da bu yöntemle yaklaşılabilir. Bunun için önce kısaca Stern-Brocot sayılarının isimlendirme sisteminden bahsedeyim. Sayı ağacında her kesrin L ve R harflerinden oluşan bir ismi var. Bu isim şöyle oluşuyor: 1/1 kesrinden itibaren istenilen sayıya ulaşmak için ağaç üzerinde sırasıyla her sağa dönüşte R, her sola dönüşte L harfini yazıyoruz. Sayıya ulaştığımızda elimizdeki kelime o sayının ismi (adresi :D) oluyor. Aşağıdaki resim benden daha iyi anlatıyor kesinlikle 🙂

stern-brocot-rllr-

Örneğin e ve altın oran sayıları

e=R{L}^{0}RL{R}^{2}LR{L}^{4}RL{R}^{6}LR{L}^{8}R..ve

phi = RLRLRLRLRLRLR..şeklindedir.

Stern matematikçi adam, tamam da Brocot neden uğraşmış bu yaklaşım problemiyle? Şimdi biraz da bundan bahsedeyim.

Mekanik saatler bildiğiniz gibi birçok dişli içerir. Bu dişliler ana güç kaynağından gelen hareketi pinyon denilen daha küçük dişliler ve diğer dişliler ile birbirine bağlanarak dönmesi istenilen dişliye kadar iletirler.

Bir saatin asli vazifesi, zemberekte biriken enerjiyi kullanarak saniye kolunun dakikada tam bir tur atacak şekilde dönmesini sağlamaktır. Saniye kolunu döndürebilirse bu kolun dişlisine 60 kat daha fazla dişi olan bir dişli bağlayarak aynı zamanda dakika kolunu da döndürmüş olur. Çünkü dakika kolu saniye kolunun 1/60 hızı ile dönmelidir.

Yalnız burada sıkıntı şu, saniye dişlisi 10 dişten oluşan çok küçük bir dişli olsa dahi, dakika dişlisi 600 dişli olmak zorunda. Bu dişliyi de bir kol saatine ya da cep saatine yerleştirmek mümkün değildir. Bundan dolayı pinyon denilen minik dişlileri kullanarak aşağıdaki gibi bir sistem kurmalıyız.

Benzer şekilde saat kolunu da döndürmek için dakika kolu dişlisinin 1/12 hızıyla dönecek bir dişliye ihtiyacımız olacağından saniye dişlisinden başlayan 1/60 x 1/12 = 1/720  hızında dönecek bir sistem lazım. 1/8x 1/9x 1/10 = 1/720 olduğundan pinyonları kullanarak kolayca böyle bir sistem oluşturabiliriz.

Dakika saat tamam da, daha ileriye gidince değişik bir durum ortaya çıkıyor. 18. Yüzyılda ünlü Course de Mathematique kitabının yazarı Charles-Étienne-Louis Camus şöyle bir problemle uğraşmış. Saat çarkından yola çıkarak yılda bir tur dönen çarka nasıl ulaşılabilir? Yani 12 saatte bir tur dönen çarktan 365 gün 5 saat 49 dakikada bir tur dönen çarka ulaşan bir sistem kurmamız gerekiyor. Küçük bir hesaplamayla aradığımız hız oranının 720/525949 olduğunu görürüz. İki çarklı sistemle buna kalkışırsak küçük çark 720 dişli ise büyük çarkta 525949 diş olması gerekir, ki bu da bir saat mekanizması için imkansızdır. Dolayısıyla pinyonlu sistemdeki yapıda, az sayıda dişi olan daha fazla çark ile bu sistemi kurmamız lazım. Tek yapmamız gereken şey çarpımları 720/525949 olan rasyonel sayılar bulmak. Fakat kısa zamanda bu kesrin paydasının bir asal olduğunu, dolayısıyla böyle çarpanların var olmadığını fark ediyoruz.

stern-brocot-table4

Çok şükür Brocot böyle sinirlenip mesleği bırakmayıp böyle durumlar için Stern-Brocot sayı ağacı yöntemini keşfetmiş. Brocot yukarıda örnek olarak verdiğim 23/191 sayısı için bu yöntemi keşfedip problemi çözmüştür. Bu yöntemle 720/525949 sayısı için de problem çözülmüştür. Bu sayı için tablo aşağıdaki gibi olur.

Bu tabloya bakarsak 720/525949 kesri yerine 196/143175 kesrini alırsak hatamız 4/196 dakika (yılda 15 saniye hata demektir) ki horolojide bu hata kabul edilebilir bir hata payıdır. Ama neden bu kesri seçtik? 491/358668 kesrini seçseydik daha küçük hata yapardık halbuki. Bu kesri seçtik çünkü 196 / 143175 = 2/3 x 2/25 x 7/23 x 7/83 olduğundan bu sistemi 4 tane küçük dişliyle kurabiliriz.

Çarpanlara ayırma derdi olmasa istediğimiz sayıya istediğimiz kadar yaklaşabiliriz. Basit ve hızlı bir algoritmayla kolayca programlanabilir bir teknik çünkü. Örnek olarak şu C kodu ve şu Java kodu gösterilebilir.

Tabi bir saat içindeki mekanizma çok daha kompleks olabilir, günümüz horlojisi çok parlak bir dönemini yaşamakta, toplumdaki lüks merakının da kısmen etkisiyle teknik ve sanatsal olarak mükemmel saat mekanizmaları üretilmekte. Böyle bilimsel ilerlemelerin de bundaki katkısı çok önemli.

Süleyman Öğrekçi

Bazı Kaynaklar:

1- Stern-Brocot tree, Cut the knot (Erişim: 01.05.2013)

2- Stern-Brocot tree, Wikipedia (Erişim: 01.05.2013)

3- Trees, Teeth, and Time: The mathematics of clock making, David Austin, Feature Column (Erişim: 01.05.2013)

4- Stern-Brocot tree, Wolfram MathWorld (Erişim: 01.05.2013)

5- Stern-Brocot treePlanetmath.org (Erişim: 01.05.2013)

6- On the Teeth of Wheels, Brian Hayes, The American Scientist (Erişim: 01.05.2013)

7- Modified Stern-Brocot Sequences, Dhroova Aiylam, arXiv.org, arXiv:1301.6807 (Erişim: 01.05.2013)

8- Exact arithmetic on the Stern–Brocot tree, Journal of Discrete Algorithms 5 (2007) 356–379. (Erişim: 01.05.2013)

9- Saat Mekanizmasındaki Dişliler ve Dişli Sistemleri Üzerine, TSF (Erişim: 01.05.2013)

10- Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Second Edition, Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, Addison-Wesley, 1994.

11- A. Brocot, Calcul des rouages par approximation, Nouvelle méthode. Revue chronomeétrique, 3, 1861. 186-94. 

12- A Treatise on the Teeth of Wheels, Demonstrating the Best Forms Which Can Be GIven to Them for the Purposes of Machinery; Such as Mill-work and Clock-work, and the Art of Finding Their Numbers.C. Camus, Translated from the French by John Isaac Hawkins. M. Taylor. 1842.

13- M.A. Stern. Ueber eine zahlentheoretische Funktion. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 55, 1858. 193-220.

Yazının alıntılandığı site: https://suleymanogrekci.wordpress.com/2013/05/01/saat-ustasiyla-profesorun-hikayesi-stern-brocot-sayi-agaci/

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Saatin Matematiği

Saat bir sayma makinesinden başka nedir ki? Dakikaları, saniyeleri sürekli sayar durur. Hem de ona …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');