Reductio Ad Absurdum

Matematikçilerin en iyi silahlarından birisi: Reductio Ad Absurdum ya da bilinen adıyla “olmayana ergi”

Hardy Bir Matematikçinin Savunması adlı kitabında bütün matematikçilerin birinci sınıf teorem olarak kabul edecekleri teoremlerden örnek vermeye; fikir ve işlem yönünden son derece basit ve anlaşılır ayrıca yıllarca tazeliğinden hiç ödün vermemiş olmaları sebebiyle bahsi geçen bu iki teoremle başlamaktadır.

1. Asal sayıların sonsuzluğunun ispatı
2. kök2 nin rasyonel sayı olmadığının ispatı (kök2 nin irrasyonel sayı olduğunun ispatı demekten daha anlamlı)

Paul ERDÖS ise Hardy’nin “çirkin matematik kalıcı olamaz” sözü doğrultusunda, Tanrı’nın matematik teoremlerinin mükemmel kanıtlarını tuttuğu bir Kitap’tan bahsetmeyi severdi. Eğer matematikçi iseniz Kitap’a inanmanız gerektiğini de altına basa basa söylerdi.
Kitapta kesin olarak yer bulmuş iki teorem bunlardır. Ve zevk sahibi hiç bir matematikçi buna itiraz edemeyecektir.

Matematikte ispatlar temelde ikiye ayrılır. Doğrudan ve dolaylı olmak üzere. Olmayana ergi, dolaylı ispatlar kategorisinde kendine yer bulur. Matematiksel ispatlarda çok sık kullanılan bu yol şu anlama gelir: Bir p önermesini ispatlamak için, p’nin tersini varsaymak ve ondan bir çelişki çıkarsamak yeterlidir.

Tarihsel sürecin matematikteki ispatlara da yön verdiğini düşünmekteyim. Daha doğrusu bir ispat 2000 yıldır tazeliğini koruyorsa bunun hikayesinin, ispat şeklinin önemi yadsınamaz bir gerçektir. kök2 nin rasyonel bir sayı olmadığının ispatı (olmayana ergi yöntemiyle) bundan daha anlamlı olamazdı herhalde, ya da asal sayıların sonsuzluğunun ispatı. Düşünsenize birer birer sayı kümeleri buluyorsunuz, en son daha olmaz dediğiniz anda  yepyeni bir şey ortaya çıkıyor. Ve her şeye rağmen ispata şu şekilde başlıyorsunuz:

Adeta yalvarıyorsunuz!!! Kök2 rasyonel bir sayı olsun.

Hala daha umut var gibi, ama matematik bu, insanın gözünün yaşına bakmaz. İspat son bulduğunda bir yandan üzüntü bir yandan da sevinç var elde. Ama çok daha mühimi ise elde büyüyerek giden karşı konulmaz bir matematik var.

Matematikteki kalıpları farkında olarak veya olmayarak günlük yaşantımızda kullanırız. Reductio ad absurdum tekniği de bir yönüyle mizah alanında kendini bizlere gösterir:

Acayip bir önerme ele alınır. Şaka ya da fıkra bu öncülü saçma bir noktaya kadar geliştirir. Ya da akla uygun ama mecazi anlamda söylenen bir önerme asıl anlamında yorumlanır ve fıkra buna uygun olarak geliştirilir. Örneğin, bir çok mizah öyküsü “şöyle şöyle olsaydı ne olurdu?” anlamına gelen paragraflarla başlar. Burada “şöyle şöyle olsaydı” tümcesi saçma sonuçları öykünün devamında geliştiren öncüldür. Mizahta vurgulanan şey doğal olarak matematiktekinden farklıdır. Mizahta, öncülüğü saçmalığa indirgemek, öncülü reddetmek amacından çok, saçmalığın kendisi için yapılır. Yine de hicivde olduğu gibi, iki amaç bir arada bulunabilir.

Hocanın fıkralarından birine veya birkaçına bu bakış açısıyla bakmak size kalsın…

Hardy’nin Reductio ad absurdum için söylediği şu söz çok çarpıcıdır.

“Bu yöntem matematikçilerin en iyi silahlarından biridir. Bu herhangi bir satranç gambitinden çok daha ince gambittir: bir satranç oyuncusu bir piyonu hatta bir figürü feda etmeyi göze alabilir; bir matematikçinin ortaya koyduğu şey ise oyunun kendisidir.”

Not: Bu teoremlerin ispatlarını bir çok yerde bulabilirsiniz, tabi ki bizim sitemizde de mevcuttur. Dileyen ufak bir aramayla bunlara ulaşabilir.

Aykut Çelikel

Kaynakça:

  1. Bir matematikçinin savunması,  G. H. Hardy
  2. Matematik ve Mizah,  J. A. Paulos

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı tartışma zemininde okumak.

Bunlara da Göz Atın

Asal Çarpanlar ve Şifreleme

İnsan asal sayıları tanımladığı zamandan itibaren, sürekli asal sayıların ardından koşar oldu. Verilen bir sayı …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');