Rakamlarla Boyamak: Kochen – Specker Teoremi

Kochen – Specker Teoremi 1967 yılında iki matematikçi olan Simon Kochen ve Ernst Specker tarafından ortaya atılmış ve aylar sonra da kanıtlanmıştır. Teoremin kanıtlanmasının 50. yılı şerefine Cambridge Üniversitesi Fizik Felsefecisi Jeremy Butterfield’in “ Teorem, kuantum teorisinin yorumlarıyla ilgili tüm puslu ve tartışmalı konularla başınızı rahatsız etmeden bağlamsallık fikrini canlı tutacaktır. Bağlamsallığı renklendirme ile daha görünür hale getirecektir.” şeklinde yaptığı açıklama bu matematik teoreminin kuantum teorisi ile ne kadar yakından ilgili olduğunun düpedüz kanıtı niteliğindedir.

Bazı temel bilgilerle başlayalım.

Kuantum parçacıkları “spin” denilen bir özelliğe sahiptir. “Spin” bir parçacığın dönme eylemidir ancak bu dönme bir topacın dönmesi ile aynı anlamda değildir. Bu dönüş sandığınız kadar yavaş da değildir. Burada konunun detaylarına çok fazla girmeyeceğiz. Sadece bilmemiz gereken şudur: Bir parçacık “spin”inin uzayda belirli bir yönde bileşenini ölçtüğünüzde, yalnızca çok sınırlı sayıda değerlerden birini alır.

Hemen çok basit bir örnek verelim. “Spin 1” parçacıkları için spin, yalnızca 1, -1 veya 0 değerlerini alabilir. 3 boyutlu uzayı göz önüne aldığımızda bu sayıların hangi koordinat eksenine denk geldiğini kolaylıkla anlarız. Kuantum mekaniği, bir “spin 1” parçacığının, eşit olasılıkla bu değerlerden herhangi birine sahip olacağını öngörür. Mesela Higgs Bozonu olarak herkesin bildiği ve dilinden düşüremediği parçacık 0 spinine sahiptir.

Spin 1 parçacıklarının 1, -1 veya 0 spinleri olduğu için, spinin herhangi bir yöndeki kare bileşeni  1 (  ve ) veya 0 () olabilir. Bu yöndeki dönüş, 1, -1 veya 0 gibi değerdedir ve bu değerlerin her biri için 1/3 olasılıkla elde edilir. “Spin” yapan bir parçacığın bu durumda eşit olasılıklara sahip olduğunu söyleyemeyiz. Çünkü -1 değeri kare bileşende bulunmamaktadır. Bu durumda parçacık için “-1” değeri 1 değeri yerine geçecek ve bu durumda da olasılığı 2/3 olacaktır. (Üç parça olduğunu unutmayalım.)

Ama garip olan bir şey var.

Kuantum mekaniği, aldatıcı bir şekilde basit bir sonuç öngörür: Bir “spin 1” parçacığının üç dikey yönde hareketini inceleyip ölçerseniz, 1, 0, 1 cevaplarını daima belli sıraya göre alırsınız. Bir parçacığın farklı yöndeki dönüşünü aynı anda ölçemezsiniz – Heisenberg’in belirsizlik ilkesinde uyuşmayan çiftler oluşur – aynı anda bir parçacığın üç dikey doğrultudaki üç spin bileşenini ölçebilirsiniz. Bu noktada yukarıda ifade ettiğimiz durum ile çelişiyor gözükebiliriz fakat işte bu noktada rakamları boyama daha doğrusu “Kochen – Specker Teoremi” devreye giriyor.

Şimdi renklendirme problemi üstünde düşünelim.

Merkezinden birbirine dik üç doğru geçen bir küre düşünün. Göreviniz, bu eksenlerden birini yani dikey olanı kırmızıya, diğer ikisini – tabanlardakini – maviye boyamak. Tanımlanan her dikey eksen bir renk ve diğer iki eksene bir  renk atmanız gerekir, fakat gelişigüzel değil, tutarlı bir şekilde. Bu işlemi yapmanız için her bir eksen kırmızı veya mavi olmalı, ancak her ikisi birden aynı renk olmamalıdır.

Zaman kaybetmeden aşağıdaki kürelere bakalım.

Bu noktada anlatacaklarımızın zor bir problem olduğunu sezebilirsiniz, gerçekten de öyle.

Şöyle yapalım; Yatay olarak bulunan kırmızı renkteki eksenleri çıkarılım ve kırmızı eksenin dikey olduğunu varsayalım (eğer dikey değilse, küreyi basitçe döndürüyoruz.) Şimdi ekvatoral düzlemdeki her eksen (ve sonsuz sayıda olanlar da dahil) dikey şekilde uzanan kırmızı eksenlere dik oldu değil mi? Hemen aşağıya bakabilirsiniz. Lakin dikey eksen kırmızı olduğu için bunların her birinin mavili olması gerekmez mi?

Evet, gerekecek. Zaten Butterfield’ın söylediği de buna eşdeğer. “ Bir kırmızı için şimdi çok büyük ve sonsuza uzanan mavi rengi var. Fakat kürenin yaklaşık üçte birini kırmızı ve yaklaşık üçte ikisini mavi yapmak  istemedik mi?

İşte bu noktada bütün ekvatorun mavi olması gerektiğinde teoreme göre mavilerin kırmızıları yok ettiği kırmızı eksenleri eksilttiği anlaşılıyor. Konu üstünde çalışan matematikçilerimiz Kochen ve Specker, tüm eksenlerde kırmızı ya da mavi renk vermenin gerçekten imkansız olduğunu ve böylece dikey eksenlerin her üçünden birinin mutlaka kırmızı olduğunu göstermiş oldu. Sonuçlarını kanıtlamak için aslında sayısız eksene bakmanız da gerekmiyor. Eksenleri kurallara göre renklendirmeye çalıştığınızda sonunda kırmızı renkle boyanması gereken bir eksen bulacaksınız çünkü diğer ikisinin mavi olduğu bir parçanın mutlaka üçüncüsü kırmızı olmalıdır.

Kafamız Karıştı. Kuantum Mekaniği Gerçekten Zor!

Daha net şekilde anlatmaya çalışalım. “Spin 1” parçacıkları ölçümlerimiz için ne anlama geliyor? Unutmayın ki parçacıkların spinleri için iyi tanımlanmış değerlere sahip oldukları (ve dolayısıyla her yönde kare şeklinde döndürdükleri) bir teori düşünüyoruz.

Küre resmimizde üçlü bir dikey eksende üçlü dikey yönde kare dönüşüm ölçüm sonuçlarını temsil edelim. Yukarıda belirttiğimiz gibi, bu sonuçlar daima yönlerden birinde 0, diğer iki yönde de 1 verir. 0 sonucu kırmızı bir eksenle, diğer iki sonuç üçlüdeki iki mavi eksenle gösterilir. Renk probleminin çözülmesinin bu şekilde imkansız olduğunu  bildiğimizden demek ki farklı bir eksen olduğunu düşünüyoruz. Peki bu farklı eksende ne? Bu eksen Kuantum fiziğinde önemli rol oynayan EPR adında bir eksen ile karşımıza çıkmaktadır. Bu eksen de +z ve -z olmak üzere iki bileşene sahiptir. Fakat fizikçiler ve matematikçilerin bu eksenin varlığından şüphesi olmadığı çok açık bir durum. Ama “On the Bell – Kochen – Specker Paradoksu” bu işleri zorlaştırmakta ve derinlere inilmeye başlandığı takdirde sizi başlangıç noktasına atabilmektedir. Okurun şayet merak düzeyi arttıysa ve bu paradoksun ne anlam ifade ettiğini heyecanla araştırma yoluna koyulduysa derhal dursun ve günlük işlerine devam etsin 🙂 Kochen-Specker teoremi tarafından sergilenen soğuk gerçeklerden kurtulamazsınız. Ya bir parçacığın, ölçmeden önce spin için belirli bir değere sahip olmadığını kabul etmişsinizdir (yani, kuantum mekaniğinin olağan yorumlanmasıdır) veya önceden belirlenmiş değerin aynı anda ne yapmaya karar verdiğiniz başka ölçümlere bağlı olduğunu kabul ediyorsunuzdur. Aksi halde hiçbir şekilde ilerleme kaydedemeyeceksiniz.

Her iki seçenek de tuhaftır,  seçiminizi yapın!

Referans

(1)- https://plus.maths.org/content/kochen-specker-theorem

(2)-http://freethoughtblogs.com/atrivialknot/2016/12/07/kochen-specker-theorem-explained/

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Matematikçi Şairler Algoritması – Turgut Uyar

“nedir sonsuzdan bir önceki sayının adı diyelim sonsuz eksi bir sonsuz eksi bir hayatın adıdır …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');