Polinomlar: Zorluğun Ayrışması

Hemen hemen herkesin lise yıllarında öğrendiği polinomlar konusunun arka planında yatan garip bir hikaye vardır.

Hemen kendinizi 16. yüzyıla ışınlayın ve etrafınıza bakın. Karşınıza iki matematikçi çıksın. Niccoló Tartaglia (1499-1557) ve Giralomo Cardano (1501-1576). Bu kişiler matematik tarihinde polinomları kafaya takmış önemli iki matematikçidir.

Önce kısaca polinomlardan bahsedelim. Hemen şöyle ikinci dereceden bir polinom alalım. Genellikle matematikçiler bu polinomlara kuadratik polinom olarak da hitap ederler. Genel yapımız,

şeklindedir. Burada a,b ve c sayıları keyfi olarak alınabilen sayılardır. Hadi biz de a=1 b=-3 ve c=2 alalım. Karşımıza çıkacak polinom aynen şu şekildedir.

Peki bu denklemin kökleri nelerdir? Hemen “kök” ne demek? diyeceksiniz. Yani yukarıdaki polinomu sıfıra eşitlediğinizde x yerine koyacağınız sayının 0 yapacağı an. Matematikçiler bunun için şöyle güzel bir formül vermişler.

Ee, a=1 b=-3 ve c=2 olduğunu biliyoruz. Hemen yerine koyalım.

Hemen x yerine 2 koyar mısınız? Polinom 0 oldu mu? Evet. Dolayısıyla 2 bu polinomun bir kökü. Peki ya diğer kök hangisi? Diğer kökü de bulmanın basit bir yolu payda bulunan ifadenin negatif biçimde alınması ile hesaplanır. Hemen hesaplayalım,

olmalıdır. Matematikçilerin kafasındaki soru acaba bu formül üçüncü dereceden aldığımız bir polinomda çalışır mı? Yani şöyle bir polinom alalım,

Evet 21.yy tabir-i caizse harika bir şekilde üçüncü dereceden denklemlerin köklerini bulabiliyorsunuz. Ama 16. yy döndüğünüzde bu biçimde bir denklemin köklerini bulmanız çağ ötesi olarak adlandırılmaktaydı. Bu şekilde ölümsüzlüğü yakalayan bu iki matematikçi polinom denildiği hatta kök ifadesinin geçtiği tüm matematiksel formlarda akıllarımızdan çıkmaması gerekmektedir. Bu denklem çözümleri o dönemde bir yarış ortamı oluşturduğundan matematikçiler çözümlerini hiç kimseyle paylaşmamayı tercih ediyordu. Örneğin İtalyan matematikçi Scipione del Ferro yukarıdaki üçüncü dereceden denklemden daha zor bir forma sahip,

biçimindeki denklemler için çözüm biçimleri geliştirdi. Karmaşık gibi görünen bu formlar aslında matematik zekasının bir göstergesi idi. Çözümler,

biçimindeydi. Karışık gibi gözüküyor, evet gerçekten de karışık. Mesela basitten bir örnek vermek gerekirse,

şeklindeki bir denklemin çözümü,

idi. Aslında burada  olduğu çok rahat bir şekilde görülebilir. ( Hesap makinasına dokunmayın lütfen!) Bu örnek basit olanıydı. Fakat bir de zor olanı var. Kime göre zor, bilmiyorum ama zor işte. Karmaşık sayı modülleri işin içine girince matematik dünyası biraz sarsılmıştır. Bu yüzden karmaşık sayıların çözüm ürettiği tüm soruları zor kabul edelim.

Giralomo Cardano (1501-1576).

Del Ferro ölüm döşeğinde iken en kıymetli öğrencisi Antonio Fiore yanına çağırdı ve bu formülü tüm detayları ile anlattı. Ama bir sorun vardı. Tartaglia aynı çözüm methodunu çoktan keşfetmiş ancak kimseyle paylaşmamıştı.

Tartaglia’nın, matematiksel zaferleri dışında, büyüleyici bir hayat hikayesi de vardı. Gerçek adı Niccoló Fontana’ydı. Bir Fransız askerinin genç iken kekeme ve kambur kelimelerine bianen taktığı “Tartaglia” kelimesi artık ölene dek onun yakasını bırakmayacaktı.

1548’de Milano kilisesinde düzenlenen bir matematik savaşında  Tartaglia, rakibi olan Lodovico Ferrari ile karşı karşıta geldi. Ferrari başka bir matematikçi olan Giralomo Cardano adına savaşıyordu. Tartaglia, kübik metodunu Cardano’ya yanlışlıkla göstermişti fakat bazı kaynaklarda eskiden gelen dostlukları olduğu bu yüzden de matematik çalışmalarını gösterdiği söylenmektedir. Düşünün ki yıllarınızı harcadığınız bir konuyu hiçbir emek ve çaba göstermeden birileri elinizden alsın. Yazık!

Niccoló Tartaglia (1499-1557).

Ancak Cardano, del Ferro’nun Tartaglia’dan önce çözümü bağımsız olarak keşfettiğini öğrenince, bunu 1545’te “Ars Magna” (Büyük Sanat) adlı bir eser olarak yayınladı. Olaylara bakar mısınız? Ah Cardano ah! Cardano hem Tartaglia’ye hem de Ferro’ya bir çelme atarak saf dışı bıraktı fakat Tartaglia çok kızgındı.

Milano’daki savaş, sonuç olarak ortaya çıkan korkunç bir kavganın doruk noktasıydı. Cardano başyapıtı sayılacak eseri ile dünyaya mükemmel bir hizmet bıraktı. En azından matematikçiler için. Yapıtın içinde herhangi bir kübik denklemin çözüm metodunu veren bir çok yol bulunmaktaydı.

biçimindeki denklemin çözümü ne kadar Cardano’ya atıf edilse de aslında Ferro için günümüzde “Ferro’s Solution” adlı özel çözümler gösterilmektedir. Tabi ki isteyenler bu üçüncü dereceden polinomların köklerinin nasıl ayrıştığına bakabilir lakin biz bunu burada vermeyelim. Çünkü gerçekten çok uzun.

Tartaglia bu olaylardan sonra Milano’yu terketti. Aslına bakarsanız en doğrusunu da yaptı. Fakat onun matematiksel serüveni ölene dek devam etti. Matematik tarihine de üzücü bir not olarak yapışıp kaldı. Unutmadan şu yukarıda bahsettiğimiz ( hemen hemen ilk paragraflarda ) üçüncü dereceden karmaşık sayılar modülündeki olayı açalım.

Elimizde şu şekilde bir denklem olsun.

Şimdi x=0 alalım. Denklem sağlandı mı? Hayır. x=1 alalım şimdi denklem sağlandı mı? Hayır. x=2 alalım şimdi bakar mısınız oldu mu? Evet. Durduk hemen demek ki

demek ki bu polinom  ile tam bölünebilmektedir. Çünkü için de yavrusu var! Dolayısıyla şöyle basit bir yoldan polinom bölmesi yaptığınız takdirde,

olacaktır. Bir kökü belli idi. Şimdi sağdaki polinomu ayrıştırıp kökünü elde edelim. Yani,

ifadesine bakmamız gerekmektedir. Hadi bu da size ödev olsun. Yukarıda verilen ikinci dereceden kuadratik denklemlerin kökünü bulmaya yönelik formülü kullanabilirsiniz. Cevaplarınız,

 ve 

olacaktır. Evet sizler bunları çok iyi biliyorsunuz fakat arkasındaki hikayeyi yeni öğrendiniz. Bizler için çok etkileyici bir süreç değil mi?

Referans

(1)https://plus.maths.org/content/alls-fair-love-and-maths

(2)http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cardan.html

(3)http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Tartaglia.html

(4)http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Ferro.html

Matematiksel

 

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Matematiksel Eşitliklerde Güzellik – Çirkinlik Algısı

Beyin taramalarının gösterdiğine bakılırsa matematiksel formüllerdeki karmaşık sayı ve harf dizileri beynimizde sanatsal bir başyapıtın …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');