Newton’un Flüksiyon Yöntemi

Biz matematikçileri heyecanlandıran şeylerden birisi de matematikteki herhangi bir kavramın, onu bulan kişinin gözünden ortaya çıkışını seyretmektir. Bu, bir nevi zamanda yapılan matematiksel bir yolculuktur. Bu yazıda Newton’un (Kendisinin Flüksiyon yöntemi adını verdiği ve bizim türev konusu kapsamında öğrendiğimiz) teğet doğrusunun eğimini nasıl bulduğunu göreceğiz.

Belki kimileri, kesici değerlerin kesin bir oranı olmayacağını söyleyerek eleştiride bulunabilirler, çünkü değerlerin önünde duran oranlar, kesin ve son oranlar değildir ve bu oranlar görünmez olduklarında, değerleri de sıfıra inmiş olur. Fakat aynı mantıktan yola çıktığımızda, belli bir yere giden ve orada duran bir nesnenin sahip olduğu hız asla sıfıra inmez ve gideceği yere vardığında da hızı kalmaz. Bu ikilemin yanıtı çok basit: son hız dediğimizde, ne hızın tükendiğini ne de son noktaya varıldığını söyleyemeyiz. Yine benzer biçimde, kesici değerlerin son oranları dendiğinde, bu değerlerin sıfır noktasındaki ya da öncesindeki değerleri değil, sıfır noktasına girme anındaki değerleri anlaşılmalıdır. Bu dizilerin ilk ve son değerleri, onların var olma ve yok olma anlarındaki değerleridir. (Newton, “Principia” bölüm 1 kitap 1, 1726)

1671 yılında Sir Isaac Newton’un “Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum” isimli yazmış olduğu kitabı 1736 yılına kadar basılamamıştır. Bu kitapta Newton bu yöntemle teğet doğrusunun eğiminin bulunabileceğini belirtmiştir.

Bu yöntem tam olarak nedir?

Bu yöntem  gösterimi ile belirtilir. Peki, bu “ ” nedir?

, x’e bağlı bir değişkendir. x’in azalıp artmasına göre bu da değişmektedir. Bu aynı zamanda ani hız oranının ölçümünün başlangıcıdır.   için de aynı şeyler geçerlidir.   

Verilen bir y=f(x) fonksiyonunda Newton’un bu yöntemini nasıl uygularız?

Öncelikle denklem oldukça basitleştirilerek işe başlanır. Denklem, bir tarafı sıfır olacak şekilde düzenlenir. Örneğin y-f(x)=0. ve x yerine x+t ve y yerine y+t yazılır. Şimdi yeni oluşan denklemde y-f(x)=0 kısmı çıkartılır. Sonra ifadeler t parantezine alınıp t yok edilir. Ancak ifade de yine bir t’li terim kalacak o terim de ihmal edilip sadece x’lere ve y’lere bağlı bir ifade kalacaktır. Buradan da  ifadesi çözülerek teğet doğrusunun eğimi bulunmuş olacaktır.

Örneğe geçmeden önce belirtilmesi gereken bir kısım daha vardır. Bu t dediğimiz tam olarak nedir? Newton neden bu t’yi  ve  ile ilişkilendirmiştir. Bu ne demektir ve neden sonra t’li terimler iptal edilmektedir? Newton’un tanımlamasına göre t zamana göre değişen anlık bir şeydir. Onun düşüncesine göre t çok küçüktür yalnız sıfır değildir. Bu sayede hem sadeleştirme hem de ihmal etme yapılabilir.

Şimdi bir örnek üzerinde bu dediklerimizi gösterelim.

Newton, matematiği anlamada geometrik muhakemeye karşı sembolik ifadelere daha fazla ağırlık vermiştir. Bu zamandan sonra birçok matematik kitabı bu yeni uygulamaya geçmiştir. Örneğin 1748 yılında Euler “introduction to the Analysis of Infinite” adlı kitabını bu uygulamaya göre yazmıştır.

 Kaynakça: SALVATORE J. Petrilli,. More history and Less Symbolic Manipulation in Calculus

Aykut ÇELİKEL

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB’de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid’in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)’ı tartışma zemininde okumak.

Bunlara da Göz Atın

Matematiksel Eşitliklerde Güzellik – Çirkinlik Algısı

Beyin taramalarının gösterdiğine bakılırsa matematiksel formüllerdeki karmaşık sayı ve harf dizileri beynimizde sanatsal bir başyapıtın …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');