Mutlu Son Problemi ve Noktalar Kümesi

Bir kağıt parçasında çizilen noktalar ve birbirlerine bağlanarak oluşturdukları şekiller ile ilgili matematikçilerin kafasında oluşan sorular mutlu son probleminin temelini oluşturmakta.

Hemen bir örnek ile başlayalım. Başıboş üç nokta var. Bunları birbiri ile bağlayarak bir üçgen elde edebilir misiniz? Yanıtınız evet olacaktır! İşte mesela bu şekilde,

Tamam bu basit oldu biraz… Şimdi elimizde dört nokta olduğunu varsayalım. Bu dört noktayı birbiri ile bağlayarak dört köşeli bir figür elde edebilir misiniz? Cevap? Yine evet, oluşturabiliriz. Bunda da bir sorun yok.

 

Bu şekillere baktığımızda noktaların nasıl bir dağılım içine girdiklerini görebiliyorsunuz değil mi? İşte düzlemde noktaların dağılımlarına bakarak oluşan şekillerin konkav yada konveks olduğunun farkına varabiliriz. İşleri biraz daha zorlaştırıp bu çizim meselesine bir sınır koyalım ve yeni bir kural tanımlayalım. Üç noktası doğrusal olmayan bir dörtgen var mı? Aklınıza gelen bir şekil var mı? Mesela,

 

Sağ tarafta kalan üç nokta doğrusal değil. Bu şekiller içbükey şekillerdir. Bir kaç tane daha örnek verilebilir. Bu şekiller benzer mantıkla oluşturulmuştur.

 

Gördüğünüz gibi şekillerin çizimi aynı mantık ekseni etrafında yapılmış ve üç nokta 180 derece olacak şekilde aynı doğrultuda çizilmemiş de ortadaki nokta biraz daha içeride yer alacak biçimde çizilmiştir.

Bir şey daha ekliyoruz. Elinize herhangi beş nokta alıp bunların herhangi dört tanesi ile yine bir dışbükey şekil oluşturabilirsiniz. Alınan bu dört nokta dışındaki nokta bu dışbükeye esneklik verecektir. Esneklik dediğimiz şey ise herhangi bir dörtgen çiziminde şekli genişletmeyi sağlayan yardımcı elemanıdır. Bu her zaman bir nokta olmak zorunda değildir. Aslında beş tane nokta ile de yine birkaç dışbükey geometrik şekil çizilebilir.

Soru ise şu şekilde enterasan hal almıştır.( Sorumuz: Bir n-gen çizmek için kaç noktaya ihtiyacımız olduğu idi.) Dört kenarlı şekilleri çizmek için dört nokta lazım iken, beş kenarlı şekilleri çizmek için 9 nokta, altı kenarlı şekilleri çizmek için onyedi nokta şeklinde devam etmiş ve herhangi bir n-geni oluşturmak için kaç noktaya ihtiyacımızın olduğu ise tam olarak bilinmiyor.

Şimdi okurdan müsaade isteyip biraz matematiksel işlemlere dalmak istiyorum. Hiç çekinmeye gerek yok anasınıfında öğretilen temel matematiksel işlemler…

Bu çalışma Paul Erdös ve arkadaşları tarafından yıllarca uğraşıldı ve “mutlu son problemi” olarak adlandırıldı. Peki neden böyle bir isim konuldu. Cevap çok bariz! Bu çalışmaya çok önemli katkıları olan Erdös’ün iki arkadaşı (George Szekeres ve Esther Klein) bu çalışmanın sonunda evlendi.

Herhangi geometrik şekil için kaç noktaya ihtiyacımız var? “n” bağlantı sayısı olmakla birlikte   için bir geometrik şeklin nokta sayısı,

  şeklinde hesaplanır. Üçgen için deneyelim hemen. n=3 olduğundan dolayı

 şeklinde bulunur. Doğru!

n=4, n=5 ve n=6 için deneyelim. Hatırlarsanız yukarıda söylemiştik kaç noktaya ihtiyaç olduğunu. Bakalım doğru mu?

 

şeklinde olacaktır. Evet bu da doğru…

Biraz tümevarımsal bir yaklaşım belirledik. Peki sorun nerede? İşte sorun  için acaba bu formül doğru muydu? Doğruysa bir de bunun ispatı olması gerekiyordu. İşte bu problem Erdös topluluğu tarafından ödüllü soru kategorisinde yer almaktadır. Benim de üzerinde çalıştığım bir konu olmasına karşın gerçekten zor ve karışık bir hal alan noktalar karşınıza çıkacaktır. n=4 için bir görsel ispat yapalım.

İspat: Düzlemde beş nokta aldığımızı varsayalım. Üç nokta ile bir üçgen oluşturalım ve diğer kalan iki noktayı mutlaka içine düşürelim. Bu iki nokta A ve B noktaları olsun. Aynen şu şekilde olacaktır.

Şimdi temel geometri kullanarak kendimizi ikna edelim ve A ve B noktasının derecesini 180 dereceden küçük alıp bunun sonucu olarak konveks bir şekil oluşturduğunu görelim.

İçinde beş noktadan ikisini içeren üçgen yoksa ne olur? Bu sorunun cevabı ise çok basit! AB doğru parçası üçgenin dışına çıkacaktır bu durumda da dörtgen oluşturulamayacaktır. Üçgendeki üç noktadan ve dış noktadan bir dörtgen oluşturulabilir ve yine bu dörtgenin tüm iç açılarının 180 dereceden az olduğunu yani dışbükey olduğunu göstermiş oluruz.

Yorulduk gerçekten ama değdi!

Matematiksel

 

Yazıyı Hazırlayan: Mushab Bedirhan Andiz

Matematiğin eşsiz dünyasında kaybolmuş araştırma ve çalışmaktan büyük bir keyif alan, matematiksiz her saniyenin kendisi için kayıp bir an olduğunu düşünen matematik çalışamadığı günlerin telafisini ağlayarak affettirmeye çalışan, içindeki bu heyecanı, aşkı, tutkuyu dindirmek için yazmak zorunda kalan matematikçi...

Bunlara da Göz Atın

Eşittir İşaretini Günümüze Kazandıran Bir İdealist Adam: Robert Recorde

Robert Recorde zamanından önce bu dünyaya gelen ve trajik bir sonla aramızdan ayrılan bilim insanlarından …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir