Mozaiklerin Matematiği

Etrafınıza biraz daha dikkatli bir gözle bakarsanız doğaya ve hayatınıza serpiştirilmiş biçimde bulunan birbirini tekrarlayan şekilleri fark edebilirsiniz. Yer döşemeleri, kaldırımlar, bal peteği, ördüğünüz kazaktaki desen…Bunlar genelde üçgen, kare, altıgen gibi şekillerden oluşmakta ve oldukça sıradan gelebilir başlangıçta. Ancak bu tasarımların arkasında aslında karmaşık bir matematiksel yapı var.

Mozaik sanatı farklı geometrik şekillere sahip parçaların aralarında boşluk kalmadan ve parçalar üst üste gelmeden düz bir yüzeyi kaplayacak şekilde birleştirilmesi olarak tanımlanabilir.

Aslına kolay olan periyodik kaplama çünkü bu kaplamalar sadece çokgensel bölgelerden biriyle yalnız öteleme dönüşümü kullanılarak düzlemde boşluk kalmayacak ve çakışmayacak şekilde düzlemin örtülmesidir. Yürürken basıp geçtiğimiz kaldırımlar buna en basit verilecek örnektir.

Kısacası periyodik kaplamalarda aynı şekil tekrar eder durur. Bu nedenle düzlemi doldurmak oldukça kolaydır.

Ancak sorun olan ve de bu yazının konusu olan periyodik değil aperiyodik kaplamalar. Aperiyodik kaplama; öteleme dönüşümü kullanılmadan düzlemde boşluk kalmayacak ve çakışmayacak biçimde yüzeyin çokgensel bölgeyle örtülmesidir.

Peki, periyodik olmayan yani belirli düzende tekrar etmeyen bu şekillerle bir zemin kaplamasının oluşturulması mümkün müdür?

Roger Penrose’un altı farklı parça kullanarak oluşturduğu mozaikte aslında dört farklı şekil var. Ancak mozaikteki farklı renklendirilmiş üç adet beşgen şekil farklı parçalar olarak kabul ediliyor.  Görsel kaynak: Wikipedia

Bu soru ilk defa 1961 yılında filozof ve matematikçi Hao Wang tarafından soruldu. Bundan birkaç yıl sonra Robert Berger yaklaşık 20.000 parça kullanarak aperiyodik bir mozaik oluşturmayı başardı ve ilerleyen yıllarda daha az sayıda parça kullanılarak aperiyodik mozaikler yapıldı.

1970’li yılların başında ise İngiliz matematikçi ve fizikçi Roger Penrose altı farklı parçayla periyodik olmayan, ancak dönme simetrisine sahip bir mozaik oluşturmayı başardı.

Roger Penrose daha sonra iki farklı şekle sahip parçalar kullanarak aperiyodik mozaikler oluşturmayı başardı.
Roger Penrose’un diğer bir aperiyodik mozaiğinde iç açıları 72°-108° ve 36°-144° olan eşkenar dörtgen şekilde iki farklı parça kullanılıyor. Görsel kaynak: Wikipedia

Penrose mozaiğini oluşturan parçalar kullanılarak periyodik olan yani belli aralıklarla düzenli olarak tekrar eden mozaikler de oluşturulabilir.

Bu parçaların aperiyodik bir mozaik oluşturacak şekilde bir araya getirilmesini sağlamak için çeşitli yöntemler uygulanabilir. Bunlardan biri köşelerinde farklı renklerde işaretler bulunan parçaların, aynı renkteki işaretler üst üste gelecek şekilde birleştirilmesi. Diğeri ise parçaların üzerindeki genellikle dairesel desenlerin uyumlu bir şekilde bir araya getirilmesi. Penrose mozaikleri oluşturmak için uygulanabilecek başka kurallar da var. Özellikle üzerinde desenler bulunan parçaların birleştirilmesiyle oluşturulan mozaiklerde ortaya çıkan desenler daha kolay fark edilebiliyor.

İki farklı şekildeki parçalar kullanılarak oluşturulan Penrose mozaiklerinin dikkat çekici diğer bir özelliği ise, mozaiklerin kapladığı alan genişledikçe kullanılan parçaların sayılarının oranının, altın oran olarak bilinen 1,618 sayısına yaklaşması.

Harvard Üniversitesi Fizik Bölümü’nde çalışan araştırmacı Peter J. Lu, Penrose mozaiği olarak bilinen desenlerin izlerine 15. yüzyıl İslam mimarisinde rastladı. Sonuçları Science dergisinde yayımlanan çalışmada araştırmacılar mozaiklerin uçurtma ve ok olarak bilinen şekillerin birleşiminden oluşan daha büyük parçaların bir araya getirilmesiyle yapıldığını, böylece geniş yüzeyleri kaplayan mozaiklerin hatasız bir şekilde birleştirilebildiğini düşünüyor.

Aperiyodik mozaiklerdeki düzen atom ölçeğinde de karşımıza çıkıyor. Bilim insanları quasikristal olarak bilinen yapılarda atomların bulunduğu konumların oluşturduğu desenlerin hiçbir zaman tekrar etmediğini, ancak mükemmel bir düzende olduğunu belirledi. Normal kristallerde ise atomların konumlanma şekli simetriktir ve belli bir düzende tekrar eder yani periyodiktir. Quasikristalleri keşfeden Dan Shechtman bu keşfiyle 2011 yılında Nobel Kimya Ödülü’nü kazandı.

Bu yazının hazırlanmasında Dr. Tuba Sarıgül tarafından www.bilimgenc.tubitak.gov.tr için hazırlanan aynı adlı yazı referans olarak alınmıştır.

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Matematikçi Şairler Algoritması – Turgut Uyar

“nedir sonsuzdan bir önceki sayının adı diyelim sonsuz eksi bir sonsuz eksi bir hayatın adıdır …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');