Matematiksel İlginç Diziler

Matematikte az kişi tarafından bilinen, gerçekten de ilginç dizi kalıpları vardır. Aşağıda okuyacağınız yazı bu ilginç dizilerden birini anlatmakta. Keyifle okumanız dileğiyle…

Öncelikle aşağıdaki diziye dikkatle bakalım.

(2,1,2,0,0)

Birinci sayı (2) dizideki kaç tane “0” olduğunu göstermektedir.
İkinci sayı (1) dizideki kaç tane “1” olduğunu göstermektedir.
Üçüncü sayı (2) dizideki kaç tane “2” olduğunu göstermektedir.
Dördüncü sayı (0) dizideki kaç tane “3” olduğunu göstermektedir.
Beşinci sayı (0) dizideki kaç tane “4” olduğunu göstermektedir.

Yani biraz daha matematik diline dökecek olursak: a(0) , a(1) , … , a(n) dizisinin terimleri

a(i) = (dizideki i’lerin sayısı) eşitliğini sağlıyorsa bu tür dizilere ilginç diziler diyelim.

Gerçekten de adı üstünde ilginç dizilerdir, her bir dizi aslında bir nevi kendisini ifade etmektedir. Kendi kendini açıklayabilen bu dizilere örnekler verelim.
(2,0,2,0)
(1,2,1,0)
(2,1,2,0,0)
(3,2,1,1,0,0,0)
(4,2,1,0,1,0,0,0)
(5,2,1,0,0,1,0,0,0)
.
.
.
(10,2,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0)
Böylece sonsuza gider. Yani sonsuz tane sonlu dizi vardır. Ve bunlardan başka da sonlu hiçbir dizi yoktur. Ayrıca yukarıdaki örneklerde dikkat ettiyseniz 6 elemanlı bir dizi bulunmamakta…

Bu dizilerinde diğer bir ilginç yanı da budur.

Şimdi sizlere bu dizileri bulabilmenizi kolaylaştıracak iki olgu vereceğim.

Birinci Olgu

a(0) , a(1) , … , a(n) bir ilginç dizi olsun. Dizide n+1 tane sayı var. İlginç dizilerin tanımından dolayı;
a(0)=dizideki sıfırların sayısı
a(1) =dizideki birlerin sayısı
…..
a(n)=dizideki n’lerin sayısı

Eşitlikleri mevcuttur. Şimdi eşitliklerin solundaki sayıları ve sağındaki sayıları toplayalım. Sol tarafı toplarsak görüldüğü üzere a(0) + a(1) + … + a(n) olmakta. Sağ tarafı ise toplarsak dizinin terim sayısını yani n+1 i elde ederiz.
Birinci olguyu kanıtladık; a(0) + a(1) + … + a(n) = n+1

İkinci Olgu,

Şimdi sol taraftaki toplama işlemi üzerinde biraz oynama yapalım. Yani, sol tarafta ki sıfırların toplamı a(0) tane sıfır olacağından 0*a(0) olacaktır. Aynı şekilde sol taraftaki birlerin toplamı a(1) tane 1 olacağından 1*a(1) olacaktır.

Yeni eşitliği yazacak olursak;

0*a(0) + 1*a(1) + … + n*a(n) = a(0) + a(1) + … + a(n) = n+1

İşte bu iki olgudan rahatlıkla biraz hesap çerçevesinde diğer dizileri de bulabilirsiniz. Ayrıca şunu da belirtelim: başka sonlu ilginç dizinin olmadığı Herb R. Bailey ve Roger G. Lautzenheiser adlı iki matematikçi tarafından kanıtlanmıştır.

Bu ne işe yarıyor diye sorabilirsiniz. Bunu diyen arkadaşların içi son derece rahat olabilir, bu diziler hiçbir işe yaramıyor. Ancak her zaman dediğim gibi, bilim için harcanan zaman hiçbir zaman boşa gitmemiştir. Bir sonraki yazımda ise hiçbir işe yaramayan Smith sayılarından bahsedeceğim.

Okuduğunuz için teşekkürler. Sağlıcakla kalın…

Matematiksel

 

Yazıyı Hazırlayan: Muhammed İşci

Taş Mektebin 120. Yıl mezunlarından olup aynı yıl kazandığım Erciyes Üniversitesi Mekatronik Mühendisliği bölümünde öğrenimime devam etmekteyim. Aynı zamanda yine aynı Üniversite adı altında Çift Anadal Programı kapsamında Matematik bölümünü okumaktayım. Matematiğin bir dil olduğunu kabul edip , bu dili iyi bilmemizin hayatla irtibata geçebilmemizi kolaylaştıracağı öngörüsünde bulunan bir düşünürüm. Sayılarla dans etmek en büyük zevklerim arasındadır. 2015 yılı Türkiye Pi Sayısı Ezberleme rekortmeni olup , o yıldan itibaren Pi World Ranking List te yer almaktayım. Hafıza tekniklerine ve Pragmatizme karşı bir kişiyim. Arşimet, Fermat ve John Forbes Nash en çok saygı duyduğum bilim insanlarıdır.

Bunlara da Göz Atın

Sırt Çantası Problemi

Bilgisayar bilimlerinde optimizasyon algoritmalarıyla ilgilenmeye başladığınızda ilk karşınıza çıkacak olarak problemlerden biri olan sırt çantası …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');