Matematiksel Güzellik

Birçok kişi okuldaki matematik derslerini iyi duygularla hatırlamaz. Buna rağmen çoğu kez matematikçiler tarafından yaptıkları çalışmaları tasvir edebilmek için “güzel” sözcüğü kullanılır. Peki, matematik ne zaman güzeldir ve bunun bir önemi var mıdır?

Oxford Üniversitesinden matematikçi Vicky Neale için bunun önemi oldukça fazla. Onun için matematiğin güzelliği, çalışmalarına devam etme motivasyonunu sağlayan etkenlerden biri. Ayrıca, bir problemin çözümü için kafa patlatanlara da rehberlik eden bir araç: Ona göre güzellik alternatif stratejileri sıralarken başvurulan bir araç. Ayrıca, eğer ulaşılan sonuç zarif değilse, geri dönüp onu daha iyi hale getirmek için de bir uyarı.

Matematik bölümü ikinci sınıf öğrencilerinin ödevlerini notlayan Neale özellikle iki kağıt üzerine düşüncelerini yoğunlaştırıyor. İki öğrenci de doğru sonuca ulaşmış ve soruda isteneni veriyor fakat Neale bir tanesini diğerine tercih ediyor ve bunun nedeni sadece cevapların uzunluğu, konuyu iyi aktarmaları veya daha özenli olmaları değil.

Fraktallar, matematiksel güzelliğin örneklerindendir

Uzun olan konunun kalbine tam olarak temas etmiyor, okuyucunun dikkatini gereksiz noktalara doğru çekiyor. Diğeri ise farklı bir yaklaşım güdüyor ve konuyu oluşturan fikirlerin esasını yansıtıyor. Bu çözüm onu okuyana ele alınan matematiğin sadece işe yaradığını değil ayrıca onun, nasıl işe yaradığını da gösteriyor. Zira bir matematikçi için “neden” önemlidir ve her zaman bunu gösteren cevaplar tercih edilir.

Matematiksel güzellik bazen apaçıktır. Örneğin fraktallar, matematiksel serilerdir – şekil olarak gösterilmiş hali – ve birbirlerine benzerliği ile birlikte sayısız sanatçıya verdiği ilham ortadadır.

Daha Azı Daha Çoktur

Peki, daha az bariz durumlar için ne denebilir? 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 … şeklinde devam eden sayı dizisini düşünelim. Bu sayılar, üçgensel sayılar olarak adlandırılır. Serideki her sayı aşağıda sırasıyla gösterilen üçgenlerdeki nokta sayısına denk gelecek şekilde artmaktadır.

Bu veriye dayanarak serideki 1000. sayının ne olacağı tahmin edilebilir mi? Bu problemi incelemenin birçok yolu vardır ve bu yöntemler arasındaki benzerlikler ve farklılıklar üzerine düşünmek güzel bir matematiksel egzersizdir. Fakat güzel olarak tasvir edilebilecek bir metot vardır:

Öncelikle çizmesi daha kolay olan bir üçgeni, örneğin 10. üçgeni düşünelim. Şimdi noktaları tek tek saymadan sonuca nasıl ulaşabileceğimize bakalım. Şu an elimizde tabanında 10 nokta olan ve 10 sıradan oluşan bir üçgen var.

Aynı üçgenden bir tane daha olduğu düşünelim ve bu ikinci üçgeni çevirip ilki ile öyle birleştirelim ki birlikte bir dörtgen oluştursunlar. Dikkat edilirse görülecektir ki bu dörtgen 10 sütun ve 11 sıraya sahiptir dolayısıyla 10 x 11 = 110 tane noktanın bir araya gelmesiyle oluşmaktadır (aşağıdaki görselde inceleyebilirsiniz). Biliyoruz ki bu dörtgen noktalarını ölçmeye çalıştığımız üçgenden iki tanesinin bir araya gelmesinden ibaret bu nedenle aradığımız cevap 110/2 = 55 olacaktır. Gördüğünüz gibi noktaları tek tek saymamıza gerek kalmadı.

Bu matematiksel argümanın gücü, onu sorunsuzca serideki her sayıya uygulayabilmemizden gelir. Bir düşünce deneyi ile bunu pekiştirelim: serideki 1000. üçgenin aynı şekilde 1000 sıradan ve en alt sırada 1000 noktadan oluşacağını söyleyebiliriz. Yukarıdaki işleme benzer şekilde onun da bir kopyasını çıkarıp, çevirip, kendisi ile birleştirdiğimizde 1001 sıralı 1000 sütunlu bir dörtgen elde edilecektir. Yine bu noktaların yarısının üçgenimize ait olduğunu biliyoruz. O halde 1000. üçgensel sayı 1000 x 1001/2 = 500500 olacaktır.

Burada güzel olan tam olarak noktaları çizmek, üçgenin kopyasını oluşturmak ve çevirip bir dörtgen oluşturmak fikri. Argümanı güçlü kılan ise her büyüklükte üçgene uygulanabilmesi ve cevabın nedenini açıklaması.

Esasında bu cevabı bulmanın başka yolları da var. Bunlardan biri serinin ilk terimlerini inceleyip bir formül oluşturmak ve bu formülün doğru olduğunu kanıtlamak (tümevarım tekniği). Fakat bu yöntem formülün arkasında mevcut olan esas nedeni bize aktarmamaktadır. Noktalar ve şekiller kullanılarak yapılan açıklama ise bilmemiz gereken her şeyi bize söylemektedir.

Bir başka çekici argümanı inceleyelim. Öncelikle aşağıdaki toplama işlemine bakalım:

Bu ünlü bir harmonik seridir ve tahmin edilenin tersine sonlu bir sayıya eşit değildir – matematikçiler bu toplamın “ıraksadığını” ifade ederler. Peki, bunu nasıl kanıtlayabiliriz? Bu, ilk bakışta zor bir görev gibi gözükse de zarif bir düşünce işimizi oldukça kolaylaştırmaktadır:

Resimde belirtilen her toplamın sonucu 1/2’den fazladır. Örneğin 1/3’ün 1/4’ten fazla olduğunu biliyoruz dolayısıyla 1/3 + 1/4 de 1/2’ye eşit olan 1/4 + 1/4’ten fazladır. Yani aslında 1/2 ‘den büyük olan gruplar sonsuza kadar birbirine eklenmektedir dolayısıyla toplam sürekli büyümektedir. O halde bu toplam herhangi bir sonlu sayıyı geçecek ve sonsuza ulaşacaktır. Böylelikle güzel bir düşünce sayesinde cevabın sonsuz olduğunu bulmayı başardık.

Bir bekleme oyunu?  

Tabi ki bunlar en karmaşık matematiksel problemler değillerdi. Aslında, matematiğin en büyük zorluklarından biri de sofistike problemleri çözebilmek için öncelikle karmaşık terminoloji ve simgelemleri anlama gerekliliğidir. Anlayamadığımız bir matematiksel ifadeyi güzel olarak göremeyiz – bu da estetik üstünlükleri belirleyebilmek için zaman gerektiğini gösterir.

Bu matematiğe özgü bir durum değildir. Görsel sanatlar, müzik ve mimaride de bazen güzellik ilk bakışta fark edilemez – ardındaki fikirlerle girişilen mücadele sonucu güzellik algısı oluşur.

Neale, öğretmenliğin en zevkli yanlarından birinin, öğrencilerin kendi matematiksel güzellik algılarını geliştirmelerini izlemek olduğunu ifade ediyor. 2. sınıf öğrencileri ile yapacağı ders sırasında verilen ödev üzerine ulaştıkları sonuçların farklılıkları üzerine ilginç bir konuşma yapacaklarını ve bu sonuçlara ulaşırken güttükleri estetik kaygının önemini anlayacaklarını düşünüyor.

Esasında siz de dahil olmak üzere herhangi bir öğrenci de benzer bir tecrübeyi deneyimleyebilir: Bir daha engin bir matematiksel problem ile karşılaştığınızda aklınızda beliren matematiksel düşünceler ile oynayın, kitabın arkasında zaten yazmakta olan cevabı bulup hızlıca diğer soruya geçmek yerine o sorunun cevabına ulaşabileceğiniz alternatif stratejiler üzerine düşünün. Önünüzdeki problemin üniversite seviyesinde olması gerekmez, herhangi bir seviyede olabilir. Bu yolculukta size yardımcı olan öğretmenler ve matematik projelerinden faydalanın.

Deniz Karagöz

Kaynak: https://phys.org/news/2017-02-mathematics-beautiful.html

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Deniz Karagöz

Hukuk eğitimi almış olmama rağmen matematik her zaman ilgimi çeken bir bilim olmuştur. Matematiksel.org bana bu ilgimi üretkenliğe çevirme şansı veren kaliteli bir ortam. Bu yüzden gerek çevirilerim gerekse yazılarımla katkıda bulunabilmek benim için oldukça anlamlı. Aynı zamanda buradan beslenerek öğrenmeye de devam ediyorum. İyi okumalar

Bunlara da Göz Atın

Einstein’ın ilginç alışkanlıklarından ne öğrenebiliriz?

Günlük alışkanlıklarımız beynimiz üzerinde büyük etkide bulunuyor, onun yapısını ve düşünme biçimimizi değiştiriyor. Dünyanın en zeki …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir