Matematiksel Bunalımlar

Matematiğin gelişim sürecine baktığımızda bunalımlı zamanları olmuştur. Ancak her bunalım bitiminde yeni bir başlangıç evresine sebep olmuştur.

İlk Bunalım: İrrasyonel Sayılar

Matematikte bilinen ilk bunalım antik Yunan döneminde (İ.Ö. 5.y.y.) ortak ölçüsüz büyüklüklerin bulunmasıyla ortaya çıkar. İki tamsayının bölümü olarak belirlenemeyen doğru parçalarının varlığı, örneğin kenarı bir birim olan karenin köşegeni, rasyonel bir sayı ile belirlenemeyen bu türden bir doğru parçasıdır. Bunun yanı sıra Zeno’nun adıyla anılan birtakım paradoksların ortaya çıkmasıyla matematikteki bunalım yoğunluk kazanır. Değişik biçimlerde dile getirilen Zeno paradokslarının ortak özelliği şöyle bir varsayıma dayanmaktadır: Sonlu bir sürede sonsuza giden sayıda devinime olanak yoktur.

Matematiğin bu ilk bunalımdan çıkması kolay olmamıştır. İlk bunalımdan kurtuluş arayışları başlıca iki gelişmeye yol açmıştır:

I. İlginin sayısal kuramlardan geometriye kayması.
II. Geometrinin aksiyomatik bir sistem olarak oluşması.

İkinci Bunalım: Sonsuz Küçükler Hesabı

Modern matematik başladığında, matematik geleneğinde iki düşünce saklıdır. Bunlardan biri, Antik Yunan matematiğinden kaynaklanan ispata dayalı geometri, diğeri Hint ve İslam matematiğinde ön plana çıkan sayı kavramı ve ona dayalı cebir. Bugün bildiğimiz matematiği büyük ölçüde 17. yüzyılda gerçekleşen iki önemli buluşun yol açtığı gelişmelere borçluyuz.

Bunlardan ilki Descartes (1596 – 1650)’in o zamana dek birbirinden tümüyle ayrı görünen matematiğin iki dalını, geometri ile cebiri, birleştirmesidir. Şimdi analitik geometri olarak bilinen bu çalışmada, koordinatlar aracılığıyla eğrileri denklemlerle, dolayısıyla eğrilerin geometrik özelliklerini cebirsel formüllerle belirleme olanağı doğar.

İkinci büyük gelişme, daha sonra analiz denen çalışmaya yol açan, Newton ile Leibniz’in birbirinden bağımsız olarak oluşturdukları sonsuz küçükler hesabıdır.(infinitesimal calculus)

17. yüzyıl matematikçileri, ulaştıkları parlak başarıların etkisinde, eleştirel tutumdan uzak kalmış, her şeyin yolunda olduğu gibi bir iyimserlik havasına girmişlerdi. Bu yüzden olmalı ki, ne analitik geometri, ne de sonsuz küçükler hesabı sağlam bir temele oturtulmadan kalmıştır.

Zamanla özellikle diferansiyel kesirlerle sonsuz küçükleri içeren işlemler kuşkuyla karşılanır. Aslında, bu işlemleri oluşturan Leibniz ve Newton’un bile temeldeki kavramlar üzerinde tam bir açıklık içinde oldukları kolayca söylenemez. Leibniz, metafizik öğretisi gereği sonsuz küçükleri varsayıyordu. Newton, fizik ve astronomi çalışmalarında duyumsadığı gereksinmeyle diferansiyel işlemleri oluşturmuştu.

18. Yüzyılın ilk yarısında belirsiz kalmış birtakım noktalar yanında kimi çelişkilerin de giderek su yüzüne çıkması ciddi tereddütlere yol açar. Berkley 1737 da “The Analyst” adlı yapıtında Kalkülüs’ü kavramsal dayanaklarını irdeleyerek oldukça ayrıntılı bir eleştiriden geçirir. Daha sonra Legendre ve Lagrange gibi kimi seçkin matematikçilerin de durumdan yakındıklarını biliyoruz.

Analizi gerçel sayılar alanından karmaşık sayılar alanına genişletme işini ise büyük ölçüde Cauchy’ye borçluyuz. Karmaşık bir değişkene ait karmaşık fonksiyonlar teorisini oluşturan Cauchy, sonsuz küçükler gibi ne olduğu açık olmayan kavramları matematikten ayıklama çabasıyla analizde gerçek bir reforma yönelir. (Sonsuz küçükler giderek kaybolma yolunda -yani sıfıra yaklaşan- nesnel miktarlar olarak varsayılıyor, diferansiyel katsayı ve integrallerin bunlardan oluştuğu sanılıyordu. Oysa, bu kavram tam bir belirsizlik içindeydi.) Limit süreklilik gibi kavramlar ilk kez onun elinde açık ve belirgin anlamlarını kazanmıştır.

Cauchy’nin limitler teorisi daha sonra Weierstrass’ın çalışmasıyla birleşerek sonsuz küçükler kavramını gereksiz kılar. Bu gelişmeyle ortaya çıkan sonsuz sayılar ile süreklilik sorunlarını ise George Cantor ele alır. Cantor sonsuz bir dizi ya da kümeyi, kardinal sayısı herhangi bir alt-bölümünün kardinal sayısına denk olan küme diye tanımlar. Başka bir deyişle sonsuz bir kümedeki elemanlar ile, o kümenin bir alt-bölümüne ait elemanlar bire-bir eşleştirilebilir. Cantor, geliştirdiği sonsuz sayılar teorisinde farklı büyüklükte sonsuz dizi ya da kümelerin olduğunu gösterir.

Analiz bugün bilinen kimliğine büyük ölçüde Karl Weierstrass(1815-1897)’ın çalışmasıyla ulaşır. Cauchy’nin, bulanık sonsuz küçükler kavramı yerine daha açık ve net limitler kavramını getirmesiyle başlayan, Weierstrass’ın analizi aritmetikleştirmesiyle, Cantor’un süreklilik ve sonsuz sayılar kavramına açıklık getirmesiyle noktalanan çalışmalar geçen yüzyılda yaşanan bunalımı önemli ölçüde gidermiştir.

Üçüncü Bunalım: Euclides-dışı Geometriler

İki bin yılı aşkın bir süre boyunca “biricik geometri” kimliğini koruyan Euclides geometrisinden farklı geometrilerin ortaya çıkışı kolayca sindirilebilir bir gelişme olamazdı. Kant’a göre geometrinin konusu uzay, temel özelliklerini aklımızın yapısına borçluydu; geometri önermeler bu nedenle zorunlu a priori doğrulardı. Başka bir deyişle, bir tek geometriye olanak vardı, o da Euclides geometrisiydi.

Biri analizde, diğeri geometride ortaya çıkan bu iki tedirginlik, XIX. yüzyılı bir bunalım dönemine dönüştürmüştü. İlk kez bu dönemde birtakım belirsizlik, çelişki ve üstünkörülüklerle yüklü olduğu gözlenen matematiğin, aynı zamanda temelde bir bütün oluşturduğu bilinci uyanmıştır. Bunalımı aşma çaba ve arayışlarının hemen hepsinde bu ortak bilincin etkisini bulmaktayız.

Matematiğin pekiştirilmesine yönelik bu çabada “mantıksal” diyebileceğimiz bir yaklaşımdan da söz edebiliriz. Richard Dedekind (1831-1916)’in çalışmasında kendini gösteren bu yaklaşım, Peano, Frege ve Russell gibi mantıkçı-matematikçilerde daha belirgin bir karakter kazanır.

Daha çok gerçel sayılara ilişkin teorik çalışmalarıyla tanınan Dedekind, diferansiyel ve integral hesapları aritmetik bir temele oturtmaya yönelir. Mantıksal çözümlemeyi içeren bu temellendirme, Peano ile önemli bir dönüm noktasına ulaşır. Peano da Dedekind gibi, kavram ve yöntemlerde üstünkörülükten kurtulma, daha kesin ve belirgin olma çabasındaydı. Matematikte sağduyu ile sezgiye gereğinden fazla yer verilmesi tutumuna karşıydı. Soyut matematik, sağduyu ve sezgiye dayanan gelişigüzel bir çalışma olamazdı; tersine, kendi içinde yeterli, formel ya da mantıksal bir sistem olmalıydı.

Frege, matematiğin mantıksal temellerini derinlemesine irdelemiş, aritmetiğe, geometrinin eriştiği düzeyin de ötesinde bir ispat bilimi kimliği kazandırmaya çalışmıştır. Matematik bir yandan daha sıkı bir mantıksal nitelik kazanırken öte yandan ona sağlam bir temel bulma çabaları yer almaya başlar. Yüzyılımızın başlarında büyük yoğunluk kazanan bu çabalar, önceki yüzyıllarda ulaşılan sonuçları daha belirgin, tutarlı ve kesin kılmanın yanısıra, matematiksel düşünme yöntemine de bir açıklık getirir. Artık matematiğe bir yığın formül, teknik bilgi ve teorem ispatı içeren soyut bir çalışma olmanın ötesinde bir düşünme yöntemi gözüyle bakılmaya başlanır.

Dördüncü Bunalım: Paradokslar

Yüzyılımızın başında patlak veren bu bunalım Cantor’un genel kümeler kuramına ilişkin paradokslardan kaynaklanır ve devam eder. Bertrand Russell (1872-1970)’ın 1901’de bulduğu paradoks doğrudan küme kavramından kaynaklanan bir paradokstu.

Russell kümeleri kendi kendisine üye olup olmamasına göre ikiye ayırarak, paradoksunu oluşturur. Bir yanda tüm kümelerin kümesi, tüm soyut kavramları içine alan küme gibi kendi kendisinin kümesi olan kümeler vardır. Diğer yanda, çocuklar kümesi, ülkeler kümesi, yıldızlar kümesi gibi kendi kendisinin kümesi olmayan kümeler vardır. Gerçekten tüm çocukları kapsayan küme, bir çocuk değildir; gene tüm ülkeleri içine alan küme bir ülke değildir. Oysa, tüm kümelerin kümesi bir kümedir; tüm soyut kavramları içeren küme de soyut bir kavramdır.

Bu bilgi eşliğinde kendi kendinin elemanı olmayan bütün kümeleri düşünelim.Ve sonra şu soruyu soralım: “Bu küme kendisinin bir elemanı mıdır yoksa değil midir?” Eğer kendisinin bir elemanı ise kendisinin elemanı olmamalıdır.

Bu paradoksun popular örneğini Russell kendisi vermiştir. Uzak ve sapa bir köyün berberi, kendini tıraş etmeyen köylüleri ve yalnız onları tıraş edermiş.Bu berberi kim tıraş edecek? Yanıt ne olursa olsun, sonuç çelişkiye yol açar. Berber kendini tıraş ederse tıraş etmeyecek, etmezse tıraş edecektir.

Russell paradoksu, kümeler teorisinde matematik için sağlam bir temel bulunduğu düşüncesine beklenmeyen bir darbe indirir. Bugün bile doyurucu bir çözüme kavuştuğu söylenemeyen bu ve daha sonra ortaya çıkan benzeri paradoksların, değişik biçimlerde antik dönemlerde de ortaya atıldığını biliyoruz.

Bunlardan yalancı paradoksu olarak bilineni en ünlüsüdür. Kendisi de Giritli olan Epimenides (M.Ö.6.yy),                    “Tüm Giritliler yalancıdır.” demiş. İlk bakışta çelişki gibi görünen, yüzyıllar boyunca öyle sayılan bu önerme aslında tam bir paradoks içermemektedir. Gerçi önerme doğruysa, yani Giritlilerin hepsi gerçekten yalancıysa, Giritli olan Epimenides’in savı doğru olamaz; öyleyse söylediği yanlıştır; yani Giritlilerin hepsi yalancı değildir. Ama bu tüm Giritlilerin, bu arada Epimenides’in doğru söylediği demek değildir. Oysa çelişki içeren bir önerme ya da sav doğru sayıldığında yanlış, yanlış sayıldığında doğru çıkmalıdır.

Paradokslardan kurtulma yolunda ortaya atılan çözüm önerileri içinde önemli sayılan iki tanesine değinelim. Bunlardan ilki; kümeler kuramını hiçbir kuşku ya da eleştiriye yer vermeyecek şekilde, iyice sınırlandırılmış aksiyomatik bir sistem kurmaktı. Bu yönde ilk girişim 1908’de Zermelo’dan gelir. Onu Fraenkel, Skolem, von Neumann ve Beryanes gibi araştırmacılar izler. Ne var ki, aksiyomatikleştirmenin yeterince etkili bir çözüm olmadığı, üstelik paradoksları çözmeye değil, önlemeye yönelik olduğu çok geçmeden görülür.

İkinci öneri, paradoksları hem önlemeye hem de açıklamaya yönelik görünmektedir. Bilindiği gibi, bir kümeyi elemanları belirler. Elemanlardan herhangi birini kümeye başvurarak belirleme yoluna gittiğimizde, döngül bir tanımlamaya düşmüş oluruz. Buna göre, bir kümede, ancak o kümeye başvurularak tanımlanabilen elemana yer yoktur. Kuşkusuz bu kural küme kavramını sınırlayıcı niteliktedir. Ancak, Cantor’un genel küme kavramının yol açtığı paradoksları önlemek için böyle bir sınırlamayı göze almak kaçınılmaz görünmektedir.

Paradokslar sorununa, çeşitli çaba ve çözüm önerilerine karşın henüz üzerinde herkesin birleştiği bir çözüm getirilememiştir.

Prof. Dr. Erhan Güzel

Kaynak: http://web.iku.edu.tr/~eguzel/is.edu.tr-1/Matematik%20Felsefesi.htm#MB

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Matematiksel Eşitliklerde Güzellik – Çirkinlik Algısı

Beyin taramalarının gösterdiğine bakılırsa matematiksel formüllerdeki karmaşık sayı ve harf dizileri beynimizde sanatsal bir başyapıtın …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');