Matematik ve Oyun

“Matematik, belirli basit kurallar ve kağıt üzerindeki anlamsız sembollerle oynanan bir oyundur.” David HILBERT
Matematik bir oyundur ya da oyun bir matematiktir. Nasıl mı? Örnek üzerinden gidelim. Hemen hemen hepinizin bildiğini düşündüğüm LEGO oyununu aklımıza getirelim. Birtakım küçük parçaları birbirlerine iliştirerek anlamlı ya da anlamsız yapılar oluşturmaya yarayan, yaratıcılığı geliştiren fiziksel olduğu kadar da zihinsel bir oyun.

Bu anlatılanın matematikle ne ilgisi var diyebilirsiniz? Biraz daha açalım.

LEGO oyunundaki küçük parçaların matematikteki karşılıkları tanım ve aksiyomlar olsun. Kabaca elimizde var olan aksiyomları ve tanımları kullanarak oluşturduğumuz yapı ve yapılarda (yani oynadığımız oyunda) matematiktir. Matematik ve oyun bu yönüyle birbirlerine çok benzeyen iki farklı disiplindir. O halde nasıl oyun oynarken bazı şeylere ihtiyacımız varsa matematik yaparken de bazı tanım ve aksiyomlara muhakkak ihtiyacımız vardır.

Öklit’in MÖ. 300 yıllarında yazdığı öğeler adlı kitabını düşünelim. Öklit bu kitabına birtakım tanım, aksiyom ve postulatlar belirleyerek başlıyor. Bunlar doğruluğu aşikar olan şeyler. Sonra oyununu oynamaya başlıyor. Birinci cildin sonunda (oyunun ilk etabında) pisagor teoremi tüm görkemiyle sahneye çıkıyor. Oyununu oynamaya devam ediyor bir yerde asal sayıların sonsuz olduğunu kanıtlıyor, durmuyor devam ediyor ve platonik cisimlerle oyununu bitiriyor. Bu oyun o kadar çok seviliyor ki aşağı yukarı 1800 yıl boyunca sürekli oynanıyor. Ve halen daha okullarımızda da bu oyunu oynuyoruz. Sonraki yıllarda başka usta oyuncular, Öklit’in oyun oynarken kullandığı bazı parçaların gereksiz olduğu bazı yeni parçaların eklenmesi gerektiği görüşüyle yeni oyunlar kurup, yeni yapılar oluşturmayı da başardılar.  Mesela Einstein, Öklit’in oyununa da saygı duymakla birlikte diğer ustaların (Riemann) oluşturduğu oyunları daha çok sevdi ve onları tercih etti.

Herhangi bir oyunu kurallarını bilmeden oynayamazsın. Matematiğin de kendine has kurallarını bilmezsen oyunu oynayamaz dolayısıyla da zevkinden mahrum kalırsın. Her oyunun zorluk düzeyi farklıdır. Önemli olan kendi seviyene uygun bir oyun bulabilmekte.

25 yaşındaki bir kişi nasıl ki 20 parçalık yapbozdan zevk almazsa, 10 yaşındaki bir çocukta 2000 parçalık yapbozu çözmekte zorlanacak, belki de oyundan nefret edecektir. Bir çocuğun en hoşlandığı şey olan oyun bir anda en nefret ettiği şeye dönüşebilir. Tekrar matematiğe dönelim.

“Önce oyunun kurallarını öğrenmelisin, sonra da herkesten iyi oynamayı.” Albert EINSTEIN

Matematikte de farklı düzeylerde oyunlar mevcuttur. Her seviyede oyuncunun kendine göre zevk alabileceği, zihnini geliştireceği oyunları matematik içinde bulabiliriz. Dolayısıyla her insanın matematikten zevk alacağı bölümlerin var olduğunu söylemek yanlış bir şey olmaz. İş bu zevki alabilmek noktasında hem oyunu öğrenmek isteği, azmi ve sabrının olması hem de bu oyunu öğretecek iyi bir ustaya sahip olmak hususu son derece mühimdir. Bunların bir araya geldiği durumlar maalesef ki çok yaygın ve de sürekli gözlenebilen durumlar değil. Ama emin olun istek, azim ve sabır bir kişi de varsa biraz da inat ederse bu oyunu ortalama bilen birinden hem öğrenir hem de Onu aşabilir. Bunun da örnekleri azımsanmayacak sayıda vardır.

Malumunuzdur, doğal sayılarda toplama işlemini yaparken pek zorluk yaşamaz öğrenciler ama tam sayılar devreye girince iş biraz değişir. Peki ne değişti? En başta kümemiz değişti. Doğal sayılardan tam sayılara geçtik. Negatif sayı diye bir şey çıktı. Yani ilkine göre kurallar ve tanımlar eklendi. Biz yeni tanım ve kurallara tam hakim olamadan oynadığımız sürece oyunun bize zor gelmesi olağan bir durum. Ama bir yerden sonra bu da doğal sayılarda toplama işlemi yaparken ki rutine dönüşecek. Biraz daha ileri gidelim. Rasyonel sayılarda toplama işlemi. Küme yine değişti. İşler yine karıştı. Yine yeni tanımlar ve de kurallar. Bir oyunu öğrendikçe bir üst oyuna geçecek ve yılmadan devam edersen matematik adlı oyunu oynamayı ve de bu oyunu oynarken düşünmeyi (matematiksel düşünme) ve de çabaladıkça, çözdükçe de(problem çözme) bu oyunu (matematiği) öğrenmiş olacaksın. Şimdi bunun bir örneğine bakalım:

&

“Kenar uzunlukları 1 birim olan karenin alanı 1 birim karedir.” 

Sadece bu kuralı kullanarak dikdörtgensel ve üçgensel bölgelerin alanlarının nasıl bulunduğunu görelim.

 

Birinci aşama: (ısınma): Yandaki şeklin alanı kaç birim karedir?

Tek tek sayarsak 8 olduğunu görürüz. Ama daha kısa yoldan bu sayıyı bulabilir miyiz? Belki saymakla çok zamanımızı alacak problemlere de denk gelebiliriz.

Bizim tek tek sayarak sayısını bulduğumuz yöntem, matematikteki sayma yöntemlerinin birincisi ve de en ilkelidir. Bunun matematikteki adı eşleme yoluyla saymadır. Bu yöntemi günlük hayatta sıklıkla kullanırız. Bir sırada beklerken önümüzde kaç kişi olduğunu sayarken, …vs.  Sayma yöntemlerinden bir diğeri de toplama yöntemiyle saymadır. Bu da sıklıkla başvurulan bir yöntemdir. Bir öğretmen sınıfta öğrencileri sayarken genelde bu yöntemi kullanır. Peki şimdi de bu yöntemle sayalım:  ilk sırada 4 tane birim kare var, ikinci sırada 4 tane birim kare var. Bunları toplarsak 8 tane birim kare olur.

Sayma yöntemlerinden üçüncüsü ve en önemlisi (o kadar önemli ki bu yöntemi bilmeyen biri ben sayı saymayı biliyorum diyemez.) çarpma yoluyla saymadır.  Bu yöntemle sayalım şimdi de. İlk sırada 4 tane kare var bir sonraki sırada da 4 tane kare var. Her sırada 4 kare ve 2 sıra olduğuna göre 2×4=8 tane birim kare vardır.

İkinci aşama:  Yandaki şeklin alanı kaç birim karedir?
4 tane birim kare var. Peki şimdi o yarımlara bakalım. İki yarım bir tam edeceğinden. 4+1 den 5 birim kare vardır diyebiliriz. Çarpma yöntemiyle sayalım şimdi de. İlk sırada 2,5 tane birim kare var ve iki sıra var. 2×2,5=5

Sonuç: Bu yapılanlardan hareketle bir dikdörtgenin kaç birim kareden oluştuğunu söyleyebilmenin bir yolu (formülü) var mıdır? Varsa nedir?

Üçüncü aşama:

Yandaki şeklin alanı kaç birim karedir?

Kareleri sayma yöntemine girmeden önce bir sonraki şekilde görüldüğü üzere üçgeni iki parçaya bölüp dikdörtgenler oluşturalım.

Soldaki parçaya bakarsak, alan olarak; soldaki dikdörtgenin yarısı soldaki üçgen, sağdaki dikdörtgenin yarısı da sağdaki üçgen. O halde dikdörtgensel bölgenin alanı, üçgensel bölgenin alanının iki katı. Ya da tersini söylersek üçgensel bölgenin alanı dikdörtgensel bölgenin alanının yarısına eşit. Bir önceki oyunda dikdörtgensel bölgenin alanını bulmayı öğrenmiştik. Onu uygularsak 6.3=18 dikdörtgensel bölgenin alanıdır. İkiye bölersek de (9) üçgensel bölgenin alanını bulmuş oluruz.

Elimizdeki alan aksiyomunu kullanarak, üçgensel ve dikdörtgensel bölgelerin alan formüllerini bulmuş olduk. Tabi bu yapılan ilköğretim seviyesinde bir matematik. Aslında matematik çalışırken yapmamız gereken de tam olarak bu. Bir konuyu mu öğrenmek istiyoruz? Tabi her seferinde en başa -aksiyomlara- kadar gitmeye gerek yok. Ama ispatını nereden geldiğini bildiğin bir teoremle başlamak durumundasın. Yoksa yeni öğreneceklerini temellendiremez ve önceki bilgilerinle bağdaştıramazsın. Yani öğrenmeyi gerçekleştirmiş olamazsın.

Matematik denen oyunun zor ama zevkli olduğu noktasında bu oyunun kurallarını bilen ve iyi oynayan ustalar hemfikirlerdir. Kimsenin oyun oynamak zorunda olmadıklarını da söylüyorlar. Yalnız bu oyunun (matematiğin) kurallarını bilmeyenlerin yaşadığımız dünyayı algılamaları, anlamaları ve yorumlamaları ne yazık ki zor gözüküyor Onlara göre. Çünkü bu oyunun ustalarından biri (Galileo Galilei) evrenin matematik diliyle yazılmış olduğunu iddia ediyor.

 Aykut ÇELİKEL

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB’de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid’in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)’ı tartışma zemininde okumak.

Bunlara da Göz Atın

Matematiğin Haritası

Okullarda matematik konularını az orasından az burasından öğrenir geçeriz, genelde akıllarımızda bazı konuların adı kalır …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');