Matematik ve Mantık

Matematik ve mantık, tarihsel olarak, birbirinden bağımsız disiplinler olarak ortaya çıkmıştır. Ancak ikisi de modern çağlarda gelişmiştir: Mantık daha matematiksel ve matematik daha mantıksal hale gelmiştir. Sonuçta artık ikisinide birbirinden ayırmak neredeyse imkansızdır; aslında ikisi de birdir… Bunun kanıtı tabii ki teknik detaydır. – Bertrand Russell

‘La Conversación’ Sanatçı: Étienne Pirot

Yunanca ‘ Logike’ kelimesinin Arapça tercümesi olan ‘Mantık’ kelimesi, bir düşünme tarzını belirtmekle beraber bir bilime de ad olmaktadır. İnsan yaradılışından bu yana mantıklı düşünebildiği halde bilim olarak gelişmesi ise Antik Yunan döneminde Aristoteles (M.Ö. 384 – 322) ile kabul görür. Bilimsel olarak ele alındığında ‘Gerçeği ararken yapılan zihin işlemlerinden hangilerinin doğru ve hangilerinin yanlış olduğunu gösteren bir bilimdir.’ diye ifade edilir. Bir başka deyişle ‘Mantık’, akıl yürütmenin temel ilkelerini ortaya koyarken bir yandan da akıl yürütmelerimizin düzgün olup olmadığını kontrol eden bir sisteme sahiptir.

Mantık, akla dayalı doğru düşünmenin tespitini yaparken, düşünmeyi ifade eden dil üzerinde durur. Biz fikirlerimizi sözler ile ifade ederken diğer yandan duygularımızı da ifade etmiş oluruz. Bu sebeple konuşulan dilin yanıltıcı, aldatıcı yanlarından arınmak için zaman içinde ‘Mantık’ konuşma dilinden farklılaşarak sembolik dil olma yoluna girer.

De Morgan (1806 – 1876), bilhassa Boole (1815 – 1864) ve Stanley Jevons (1835 – 1882) ile başlayan sembolik mantık çalışmalarında hedef  matematik temelli bir sistem ile mantığı yeniden kurmaktır. Aristoteles ile başlayan ‘Klasik Mantık’ düşünmenin tespiti ile felsefenin bir koluyken zaman içindeki gelişimleri ile felsefeden ayrılıp, ‘Sembolik Mantık’ (Modern Mantık) ile matematik, fizik gibi bilim dallarının da çalışma alanına girer.

Günümüz matematik lise müfredatında da öğretilen “İki Değerli Mantık” ise G. Frege (1845 – 1945) tarafından kurulmuştur.

İki değerli mantıkta, bir önerme (p,q,r,…)  gerçeklikle uyuşuyorsa doğruluk değeri olarak ‘doğru’ (1 veya D) aksi durumda ‘yanlış’ değeri (0 veya Y) ile ifade edilir.

Mantığın uygulama alanlarını da bir kaç başlık altında inceleyebiliriz.

a) Pratik Yaşayış: İnsana eleştirel düşünme, akılcı tartışma, sorular sorma ile varolan bilgileri ve işleri pratik-sezgisel bir şekilde öğrenmeyi sağlamaktadır.

b) Bilim Alanı: Mantık her çeşit bilimin, matematik gibi a priori (formel) bilimlerin olduğu kadar, fizik gibi ampirik bilimlerin, doğa ve mühendislik bilimlerinin olduğu kadar sosyal bilimlerinin de temellendirilmesinde kullanılmaktadır.

c) Teknik Alanı: Her türlü elektrik devrelerinin, elektronik beyinlerin (bilgisayar ve akıllı telefonlar gibi) teorisine uygulanmaktadır.

d) Felsefe: Bilgi kuramından metafiziğe, ahlaktan siyasete kadar tüm alanlarda kullanılan mantığın felsefedeki en büyük görevi kavram analizidir.

Şimdide bazı temel bilgiler vererek önermeler mantığına kısaca giriş yapalım:

Önerme: Bir yargı bildiren, doğru veya yanlış olabilen cümlelerdir. Önerme basit olabileceği gibi bileşik de olabilir. Önermeler ‘p,q,r,…’ gibi harflerle sembolize edilirler.

Örneğin;

Ankara, Türkiye’nin başkentidir — Günlük dile ait bir önermedir.

3 + 5 = 8 — Matematik diline ait bir önermedir.

2H + O → H2O — Kimya diline ait bir önermedir.

Ama,

‘Dersten sonra şehri gezelim.’

‘Kaç yaşındasınız?’

Cümleleri doğru veya yanlış olarak nitelendirilemeyeceği için önerme belirtmez.

Basit Önerme: Hiçbir bileşeni olmayan önermedir.

Örneğin;

p: Sokrates insandır — ‘p’ önermesi doğru bir yargı belirttiği için doğruluk değeri “1” olan bir önermedir.

q: 3 sayısı çift bir sayıdır — ‘q’ önermesi gerçeklikle örtüşmediği için doğruluk değeri “0” olan bir önermedir.

Bileşik Önerme: İçinde iki veya daha çok bileşeni olan önermedir.

Örneğin;

p ∧ q: Asal ve çift olan bir tam sayı vardır

Bağlayıcılar ve Eklemler “∼”, “∧”, “∨”, “ ⇒”, “⇔

Sembolleştirme; Günlük dilde ifade edilmiş olan önermeleri, sembolik mantık diline çevirmektir. Sembolleştirme işlemi üç aşamada gerçekleşir:

  1. Önerme Sembolleri: Basit önermeler p, q, r, s, t, y, z gibi harflerle sembolleştirilir.
  2. Önerme Eklemleri: Bir veya birden fazla önermeyi birbirine bağlayarak bileşik önerme oluşturmamıza yararlar.
  3. Parantezler: Bir veya birden fazla bileşik önermeden bir önerme eklemi ile yeni bir bileşik önerme meydana getirirken, önceki önermeler paranteze alınır. Önerme ya da önerme gruplarını birbirinden ayırmak için ( ), [ ], { } türünden parantezler kullanılır.

Elimizdeki önerme topluluğu bir çıkarım ise, yukarıdaki işlemler yapıldıktan sonra, önermeler birbirinden “virgül” (,) ile ayrılır. Öncüllerle sonuç önermesini ise üçgen görünümündeki üç nokta “∴” işareti ile birbirinden ayrılır. Bu işaret günlük dildeki “o halde”nin karşılığıdır.

Bu üç aşamalı işleme sembolleştirme denir. Bu yolla elde edilen önermelere ise sembolik önerme (önerme kalıbı, önerme şeması, önerme formu) denir.

Önerme ya da önermelerin her yorumlamada aldığı doğruluk değerini belirten çizelgeye, yorumlama tablosu (doğruluk çizelgesi) denir.

Doğruluk tablosu önerme eklemleriyle kurulmuş bileşik önermelerin tutarlılığını, eşdeğerliliğini ve çıkarımların geçerliliğini denetleyen bir yöntemdir. Doğruluk tablosunda denetlemenin amacı, her bir bileşik önermenin doğruluk değeri için ana eklemin doğruluk değerini ortaya koyarak önerme hakkında yorum yapmaktır. Doğru değer için “1”, yanlış değer için “0” sembolü kullanılır.

Örneğin;

(p’∧ q)’ ∨ (r ∨ p) önermesinin doğruluk tablosunu yapacak olursak,

p, q ve r olmak üzere bir birinden farklı ‘3’ önerme olduğu için 2x2x2=8 farklı durum incelenmesi gerekir. Tablo sütun sütun doldurulur.

Durum analizini kolaylaştırmak için önermelerin doğruluk değerleri belirli bir sistematikle yerleştirilir.

Yazıyı pdf olarak indirmek isterseniz:

Çisil Oksay

Kaynaklar:

http://kitaplar.ankara.edu.tr/dosyalar/pdf/614.pdf

http://erzurum.edu.tr/Content/Yuklemeler/Personel/Huseyin_Aydogdu/Modern_Mantik6755.pdf

http://bizdosyalar.nevsehir.edu.tr/b9beb37d163a0dd3a9dbf7a2fbe65c00/semblk-mntk.pdf

http://www.felsefe.gen.tr/mantik/mantigin_tarihcesi_mantik_tarihi.asphttp://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/Dersler/Modeller-kurami/mantik-2.pdf

 Matematiksel 

Yazıyı Hazırlayan: Çisil Oksay

Gazi Üniversitesi, Matematik Bölümünde okurken başlayan iş yaşamımda, matematiğin teorik bir bilim olmasının yanı sıra insanın sosyal yaşamının içinde de haberli-habersiz yer alan ve dilini bilenlere yol gösteren bir rehber olduğunu farkettim. Matematiğin bu evrensel dilini ve hayatımıza etkisini daha doğru anlamak ve aktarabilmek adına, insanın sosyal etkileşim alanlarının en genişi olan, iktisat, örgütsel davranış, pazarlama, finans gibi kavramları ve ilişkilerini anlamak için TOBB Üniversitesi’nde MBA eğitimi aldım. İnsan hayatında gerek sosyal ilişkilerde, gerek akademik yeterlilikte, matematiğin mutlak yerini gördükçe bunu insanlara daha iyi anlatmanın, hayatlarında matematik merkezli bir fark yaratmanın etkili yollarını aramaya başladım. İnsanların kişisel farklılıklarının önemini anlamamla beraber önce ADLER’in koçluk programına daha sonra A.Ü’de Eğitim Psikolojisi yüksek lisans bölümünden dersler almaya başladım. Şimdilerde ise ortaokul yıllarında merakımın başladığı fotoğrafçılık alanında AÖF’de (bitmeyen :)) eğitim hayatıma devam etmekteyim.

Bunlara da Göz Atın

Afin Fonksiyonlar

“Doğrusal fonksiyon” nedir? Daha ziyade şu soruya odaklanalım: f(x)=ax+b doğrusal bir fonksiyon mudur? Bir çok kişi başlangıçta bu …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');