Matematik Nedir?

“Matematik p⇒q biçimli önermelerden oluşur, ama p doğru mudur diye asla sormazsınız.” Bertrand RUSSELL

Bir matematikçiye 2+2 kaç eder diye sormuşlar, matematikçi de düşünmüş ve şu cevabı vermiş:

“1+1=2 ederse, 2+2 de 4 eder”

Russell’ın bu sözünü ilk duyduğumda aklıma nedense Öklit’in 5. postulatı geldi.

Bu postulata geçmeden önce ne olduğu konusunda fikrimiz olsun diye postulat nedir sorusunun cevabına bakalım:

İspata yönelik her bilim, konusunun ilkelerini oluşturan varsayımlarla işe başlar. Bu varsayımların bir bölümü tüm bilim alanları için ortak niteliktedir (Aristoteles bunlara aksiyom adını vermekte); diğerleri her alanın kendi konusuna özgü ilkelerdir (Aristoteles bunlara postulat adını vermektedir). Postulatlar, inceleme konusu nesneleri, bunlara ilişkin özellik ve ilişkileri belirleyen önermelerdir. Örneğin, geometride ‘nokta’ , ‘çizgi’ gibi nesneler varsayılmakta, ‘üçgen’, ‘daire’ gibi tanımlanan diğer nesneler, varsayılan nesnelere dayanılarak inşa edilmektedir. Örneğin, “Tüm dik açılar eşittir” postulatı, bir küme nesnenin belli bir özelliğini dile getirmektedir.

Özetle

  1. Aksiyom tüm alanlar için geçerli, doğruluğu apaçık bir önermedir. Örneğin “Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine eşittir.”
  2. Postulat belli bir konu ya da inceleme alanına özgü, doğruluğu apaçık bir önermedir. Örneğin, “Bir çizgi dışındaki herhangi bir noktadan o çizgiye bir ve yalnız bir paralel çizgi vardır.”
  3. Aksiyom doğruluğu zorunlu bir önermedir; oysa postulat için zorunluluk söz konusu değildir.  (i)

Bütün bu ayrımlara rağmen aksiyom ve postulatı kabaca “ispatsız kabul edilen bir önerme”(ii) olarak gören anlayışın da varlığını kabul etmek durumundayız.

Şimdi tekrar başa dönelim ve Öklid’e kulak verelim. Öklid 5. postulatında (meşhur adıyla paralellik postulatı) şöyle der.

“Eğer aynı düzlem üzerinde yer alan iki düz doğrunun her ikisi de bir üçüncü düz doğruyla kesişiyorsa ve eğer bir taraftaki iç açıların toplamı iki dik açıdan daha az ise, o zaman, açıların toplamının iki dik açıdan daha az olduğu tarafa, doğru yeterince uzatılırsa bu iki doğru kesişir.”

Ya da daha çok aşina olduğumuz şekliyle: “Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir paralel doğru çizilebilir.”

Buna kim itiraz edebilir ki o kadar açık ve net ki. Tabi bakış açımızı genişlettiğimiz takdirde, daha geniş çerçeve de olaylara baktığımızda bu postulatın geçersiz olduğu ortamların var olduğunu görürüz.

p:”Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir paralel doğru çizilebilir.”

O halde p önermemizi böyle kabul ettiğimizde bir anda kendimizi Öklid geometrisinin içinde bulmuş oluruz. Fakat p önermemizi değiştirdiğimiz takdirde ise yepyeni geometrilere kapı açmış oluruz.

Böylece Russell’ın sözünde ne demek istendiğine de belki de en geniş pencereden bakmış olduk.

Aşağıdaki tablo bize Öklid-dışı geometriler hakkında daha fazla bilgi verecektir.

Öklid Lobachevsky Riemann
İki farklı doğru, En fazla bir noktada kesişir En fazla bir noktada kesişir Tek bir (eliptik)

İki (iki katlı eliptik) noktada kesişir

Bir L doğrusu ve bu doğru üzerinde olmayan bir P noktası verildiğinde, P’den geçen ve L’ye paralel olan, Bir ve ancak bir doğru çizilebilir En az iki doğru çizilebilir. Hiç bir doğru çizilemez
Bir doğru, üzerindeki bir nokta tarafından ikiye ayrılır ayrılır ayrılmaz
Birbirine paralel iki doğru, Eşit uzaklıktadır Hiç bir zaman eşit uzaklıkta değildir yoktur
Eğer bir doğru birbirine paralel iki doğrudan birini kesiyorsa, Mutlaka diğerini de keser Diğerini kesebilir ya da kesmeyebilir
Aynı doğruya paralel olan iki doğru paraleldir paraleldir kesişir
Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceye eşittir 180 dereceden küçüktür 180 dereceden büyüktür
Bir üçgensel bölgenin alanı, İç açılarının toplamından bağımsızdır İç açılarının toplamının 180 dereceden ne kadar küçük olduğuna bağlıdır İç açılarının toplamının 180 dereceden ne kadar büyük olduğuna bağlıdır
Karşılıklı açıları eşit olan iki üçgen, benzerdir eştir eştir

Tablo(iii)

Uzayda bir grup insan olsa, matematiği biliyor olsalar ve anlaşabileceğimiz ortak bir dil geliştirme olanağına sahip olsak (ki olsa olsa bu dil matematik olur) ve onlara şöyle sorsak ” Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?” Acaba nasıl cevap verirler. Bana öyle geliyor ki soruyu eğer böyle sorduysak hiç cevap vermezler!

Aykut ÇELİKEL

Kaynakça:

  1. Yıldırım, Cemal (2004). Matematiksel Düşünme. (İstanbul: Remzi Kitabevi)
  2. Matematik Terimleri Sözlüğü. (2009). (İstanbul: Türk dil kurumu yayınları)
  3. Davis P. J., Hersh R. Matematiğin Seyir Defteri. (çev. Ender Abadoğlu), (İstanbul: Doruk yayınları)

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB’de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid’in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)’ı tartışma zemininde okumak.

Bunlara da Göz Atın

Matematiksel Eşitliklerde Güzellik – Çirkinlik Algısı

Beyin taramalarının gösterdiğine bakılırsa matematiksel formüllerdeki karmaşık sayı ve harf dizileri beynimizde sanatsal bir başyapıtın …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');