Matematik, Fizik ve Mühendislikte Dalgalar

Dalgalardan söz açılınca çoğumuzun bir yorumu ve aklımıza takılan çeşitli sorular vardır. Bazılarımız denizi izleyişini anlatır, bazılarımız yaptığı ışık deneylerini. Ses tellerinin ve kulağın çalışma ilkeleri hepimizde merak uyandırır. Telli ve vurmalı müzik aletleri hangi koşullarda istediğimiz tınıyı üretir? Sıkışık trafikte otomobilimizi kullanırken önümüze çıkan bir engel, arkamızdaki trafiğin akışını nasıl değiştirir?

Şanslıyız ki dalgalar ve dalga kuramı bilim tarihinin her sayfasında kendisine yer edinmiş ve birçok benzer soru büyük bilginlerce de sorulmuştur.

Ses, ışık ve benzeri birçok niteliğin anlaşılma­sı ve tahmin edilmesi ancak hareketi açıklayan denklemlerle yani matematik modelleriyle mümkündür. Bu denklemler genelde türevsel denk­lemlerdir. Dalga kuramı, denklem tiplerine göre iki genel başlık altında incelenebilir. Bunlar doğrusal ve doğrusal olmayan kuramlardır. Herhangi bir yakın­sama yapılmamış denklemlerin çözülmesi zor oldu­ğundan belirli koşullar altında denklemlerde yakın­samalar yapılır veya bazı kısımlar göz ardı edilir. Ya­ni doğrusal olmayan türevsel denklemler doğrusallaştırılır.

Doğrusal Periyodik Dalgalar

Doğrusallaştırılan denklemlerden elde edi­len çözümler çoğumuzun bildiği en basit trigono­metrik fonksiyonlar olan sinüs ve kosinüsler cinsindendir. Bunlar doğrusal-periyodik dalgalar olarak da adlandırılır. Doğrusal olmayan türevsel denklemlerin dal­gaları açıklayan çözümleri ise hiperbolik sekant, Jakobi’nin cn, sn ve dn fonksiyonları gibi daha kar­maşık çözümlerdir. Tekil dalgalar ise doğrusal olma­yan dalga kuramının bir parçasıdır.

Tekil dalgalar

Tekil dalgaların tarihi Ağustos 1834’te başladı. İskoç mühendis John Scott Russell Edinburgh ya­kınındaki bir kanalda gezinti yaptığı sırada “ilerle­yen büyük bir su kütlesi” olarak tanımladığı bir dal­ganın, yüksekliğinde ve şeklinde görülebilir bir de­ğişme olmaksızın 2 km kadar ilerlediğini tespit et­ti. 10 yıl sonra Russell bu tespitini İngiliz Bilim İler­leme Kurumu’na rapor etti. Ünlü hidrodinamik bil­gini Airy’nin 1845’te yayımlanan eseri Gelgit ve Dal-galar’daki ifadesiyle “dalga yüksekliğinin su derinli­ğine oranla küçük olmadığı durumlarda, her dalga şekil değiştirerek ilerler” saptamasına aykırı olan bu örnek, Airy’nin bu konudaki düşüncelerinin yanlış­lığını gösteren bir kanıt oldu.

John Scott Russell’ın gözlemi kuramsal olarak 1895’te Hollandalı iki matematikçi Korteweg ve deVries tarafından ispatlandı ve elde ettikleri denk­lem Korteweg-deVries denklemi olarak kabul gör­dü. Bu gelişmeden sonra yaklaşık 70 yıl süreyle tekil dalgalar kuramında kayda değer bir gelişme olmadı. 1962 yılında kuantum mekaniği, manyetizma kuramı, süperiletkenlik, optik ve türevsel geometri alan­larında karşılaştığımız sinüs-Gordon denkleminin tekil dalga çözümünün bulunmasıyla birlikte araş­tırmacıların ilgisi tekrar bu alana odaklandı. Kruskal ve Zabusky 1965 yılında bilgisayar yazılımıyla Korteweg-deVries denklemi üzerine gerçekleştirdikleri deneyler sayesinde, iki tekil dalganın çarpışmasının iki atom parçacığının çarpışmasına eşdeğer olduğu­nu yani çarpışma sonucunda iki dalganın da çarpış­ma öncesi özelliklerini, şekillerini ve yükseklikleri­ni koruduğunu gözlemlediler.

1972 yılında Zakharov ve Shabat kuantum kuramında, hidrodinamik ve plazma fiziğinde büyük önem taşıyan, doğrusal ol­mayan Schrödinger denkleminin de tekil dalga biçi­minde çözümlerinin olduğunu gösterdiler. Hidrodi­namik alanında tekil dalga modelleri, askeri kara çı­karmaları, dalgaların gemi ve deniz inşaatlarına etki­lerinin saptanmasının yanı sıra sualtı akustik çalış­maları ve elektromanyetik dalgaların deniz yüzeyin­den yansıması çalışmaları için de büyük önem taşır. Ayrıca kıyı hattını tehdit eden tsunamilerin modellenmesi ve erken uyarı çalışmaları için de tekil dalga modelleri akla ilk gelen yöntemlerdir.

1972 yılında Hasegawa ve Tappert doğrusal olma­yan Schrödinger denkleminin, tekil dalga çözümle­rinin optik kablolardaki ışığın iletilmesinde kullanı­labileceğini gösterdiler. Optik tekil dalgaların varlığı ise ilk olarak 1980 yılında Bell Laboratuvarları’nda gözlemlendi. Hasegawa ve Tappert’in önerisini taki­ben günümüzde optik iletişim teknolojisi önemli öl­çüde ışığın ve dolayısıyla bilginin tekil dalgalar şek­linde iletilmesi fikrine dayanmaktadır.

Optikte tekil dalgalar

Tekil dalgalar biyoloji çalışmalarında ise sinir sis­temindeki uyarı iletimini açıklamak için kullanıl­maktadır. Sinir hücrelerinde tekil dalga şeklinde olan iyon akışı Hodgkin ve Huxley tarafından ortaya ko­nulan kuramla modellendi ve büyük ilgi toplayan bu çalışma 1963 Fizyoloji veya Tıp Nobel Ödülü’nü bu iki isme kazandırdı. Yine bu konuya açıklık ge­tirmek amacıyla ortaya konulan Fitzhugh-Nagumo denklemi tekil dalga şeklinde olan çözümleriyle sinir sisteminde uyarı iletilmesi araştırmalarına ışık tuttu. Hodgkin-Huxley ve Fitzhugh-Nagumo denklemleri telgraf iletişimini açıklayan klasik telgraf denklemleriyle de ilintilidir.

Bilim tarihi boyunca gözlem ve deneylerle tetiklenen araştırmalar, kuramların genişletilerek yeni­lenmesine neden oldu ve olmaktadır. Doğrusal dal­ga kuramının yetersiz kaldığı durumlarda doğrusal olmayan dalga kuramının kullanımı ile önem ka­zanan tekil dalga araştırmaları, birçok matematik, fizik ve mühendislik probleminin aşılmasını sağla­dı. Tekil dalga araştırmaları önemini ve hızlı gelişi­mini gelecekte de koruyacağa benziyor.

Cihan Bayındır

Kaynaklar

Ablowitz, M. J. ve Segur, H., Solitons and Inverse Scattering Transform, SIAM, 1981.

Drazin, R G. ve Johnson, R. S., Soli tons: An Introduction, Cambridge University Rress, 1989.

Engelbrecht, J., An Introduction to Asymmetric Solitary Waves, John Wiley & Sons Inc., 1991.

Yazının ilk yayınlandığı Kaynak: Bilim Teknik Ocak 2011

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Matematikçi Şairler Algoritması – Turgut Uyar

“nedir sonsuzdan bir önceki sayının adı diyelim sonsuz eksi bir sonsuz eksi bir hayatın adıdır …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');