Matematik Eğitiminde Diyalog

Sadece sistem eleştirisi yapmak yerine, tepeden yapılacak bir değişikliği de beklemeden biz öğretmenler, eğitimciler olarak elimizdeki mevcut imkanlarla bir şeyler yapamaz mıyız?

Kavramların özünü vermeye yönelik girişimlerimizin pek başarılı olmadığı, olamadığı malumunuzdur. (Burada bir ders saati içinde konuyu vermeye çalışmamızın, öğrencinin isteksizliğinin, müfredatın yoğunluğunun, sınav hedefli bir sistemin içinde oluşumuzun vs. etkilerini gözlemlemekteyiz. Bu etkenlerin bazılarını ortadan kaldırmaya biz öğretmenlerin gücü yeterken bazılarına ise çok daha üst düzeyde (MEB) bazı kimselerin el atması gerekmektedir.) Kavramın öğrenciler tarafından yapılandırılamaması, bir de bu kısmın tam olarak anlaşılmadan soru çözümüne geçilmesi, belki de biz öğretmenler tarafından öğrencileri, farkında olmadan dönüşü olmayan bir yola sokuyor olabilir. Zannımca buradan kaynaklanan en belirgin sorun ise ezberle en alakasız ders olan matematiğin bir anda öğrenciler nezdinde ezberlenmesi gereken formüller yığınına dönüşmesi. Tabi bunda sistemsel sıkıntıların da olduğu bir gerçek. Peki sistem eleştirisi yapmak yerine, tepeden yapılacak bir değişikliği de beklemeden biz öğretmenler, eğitimciler olarak elimizdeki mevcut imkanlarla bir şeyler yapamaz mıyız?

Uzun bir süredir bu konu üzerine kafa yormaktayım. Ve yine bir gün bu düşünceler içerisindeyken, birden kütüphanemdeki bir kitap gözüme ilişti.

“İki yeni bilim üzerine diyaloglar-Galileo Galilei”

Hani olur ya aniden beynimizde şimşek çakar -ister adına ilham deyin ister başka bir şey- o her neyse bana oldu ve hemen o sırada okulda yeni bitirmiş olduğum ve öğrencilerin de anlamak da çok zorlandıklarını gördüğüm mutlak değer kavramına dair bir diyalog hazırlama çabasına giriştim. Bu diyalog mutlak değer kavramına giriş niteliğinde bir çalışmadır. Öğrencilerin derse gelmeden önce bu diyalogu okumaları ve mümkünse arkadaşlarıyla canlandırmaları önerilebilir. Böylece öğrenciler derse geldiklerinde boş olmayacaklar ve bu da biz öğretmenlere kolaylık sağlayacaktır.

Aşağıda bu çabamın mahsulünü göreceksiniz. İyi okumalar.

ÖĞRENCİ: Bir noktaya eşit uzaklıkta olan kaç tane nokta vardır?

ÖĞRETMEN: Bu üzerinde çalıştığımız sisteme göre değişir.

ÖĞRENCİ: Nasıl yani?

ÖĞRETMEN: Eline düz bir çubuk al ve bu çubuk üzerinde bir nokta işaretle. Bu noktaya eşit uzaklıkta kaç tane nokta bulabilirsin?

ÖĞRENCİ: Biri sağında biri de solunda olmak üzere iki tane vardır.

ÖĞRETMEN: Peki belli bir noktaya eşit uzaklıkta ikiden fazla noktanın olduğu bir sistem var mıdır sence?

ÖĞRENCİ: Bilemiyorum. Ama şöyle bir şeyler düşünecek olursak bir doğru üzerinde bir noktaya eşit uzaklıkta iki nokta bulduk. Eğer dediğiniz gibi iki noktadan fazla olduğu bir sistem varsa bunun doğrudan daha başka bir şey olduğu muhakkak.

ÖĞRETMEN: Doğru söylüyorsun. Hadi bunu biraz açalım. Mesela birbirini dik kesen iki doğrunun belirttiği düzlemi hayal edelim. Bunu bir masa gibi, bir yazı tahtası gibi ya da yüzeyi düzgün bir şekil olarak düşleyebilirsin. Bu düzlem üzerinde düşünürsek belli bir noktaya eşit uzaklıkta olan sonsuz tane nokta vardır.

ÖĞRENCİ: Sonsuz tane mi?

ÖĞRETMEN: Evet sonsuz tane.

ÖĞRENCİ: Ben ikiden fazla deyince üç, dört ne bileyim böyle sayılar bekliyordum, birden sonsuz deyince çok şaşırdım.

ÖĞRETMEN: Şaşırmak da haklısın. Matematiği tanıdıkça bir meraklı çocuğun gözleriyle dünyaya bakmayı öğrenecek ve de o çocuğun gördüğü her şeyi sorup soruşturması merak etmesi hatta şaşırması gibi şaşıracaksın.

ÖĞRENCİ: Çok abartmıyor musunuz? Sonuçta sayılar, harfler, şekiller, semboller ne kadar şaşırtabilir ki?

ÖĞRETMEN: O sayıların, şekillerin, sembollerin arkasında yatan gücü, düşünceyi gördüğünde bu söylediklerin karşısında ne kadar sığ düşünüyorum diyeceksin.

ÖĞRENCİ: Pek zannetmiyorum ama hadi dediğiniz gibi olsun. O zaman size büyük iş düşüyor. Matematiğin m’sinden haberdar olmayan bana matematik öğretmekle kalmayıp bir de bunların arkasında yatan düşünceyi anlatacaksınız. İşin gerçekten zor. Tek başına nasıl bunun üstesinden geleceksiniz?

ÖĞRETMEN: Bu konuda bana yardımcı olacak büyük bir güce sahibim ve sanırım onu kullanmayı çok iyi biliyorum.

ÖĞRENCİ: Matematik mi?

ÖĞRETMEN: Hayır onu da ortaya çıkaran güçten bahsediyorum.

ÖĞRENCİ: Beni çok meraklandırdınız. Nedir o büyük güç?

ÖĞRETMEN: Düşünmek.

ÖĞRENCİ: “Düşünüyorum öyleyse varım” diyorsunuz yani.

ÖĞRETMEN: O hafife alınacak bir söz değil, o sözün sahibinin de ünlü bir matematikçi olduğunu bildiğini düşünüyorum.

ÖĞRENCİ: Descartes’ın filozof olduğunu biliyordum. Matematikle de mi uğraşmış yoksa?

ÖĞRETMEN: Evet matematikle de uğraşmış hem de öyle bir katkı sunmuş ki, hani konuşmamızın başında bahsettiğimiz birbirine dik iki doğruyu hayal edelim demiştik ya,

ÖĞRENCİ: Evet hatırladım.

ÖĞRETMEN: İşte birbirine dik iki doğruyu Descartes hayal etmekle kalmamış, üzerine bir de sistem inşa etmiş.

ÖĞRENCİ: Hiç bir şey anlamadım, unutmayın matematiğin m’sinden haberdar değilim.

ÖĞRETMEN: Tamam, tamam biraz daha yavaşlayalım.

ÖĞRENCİ: Bence de, yoksa beni daha başlamadan matematikten koparacaksınız.

ÖĞRETMEN: Haklısın. Ama şurasını söyleyelim. Analitik düzlem dediğimiz şeyin sahibi Descartes’dır. Zihnimizin bir köşesinde yer etsin yeter. ileride ayrıntısına gireriz.

ÖĞRENCİ: Evet ileride, gerçekten ilerisi olacak mı çok merak ediyorum.

ÖĞRETMEN: Olacak, sadece aklını doğru kullan başka bir şey istemiyorum. Doğru düşünme ve muhakeme yeteneğine sahip her birey matematikten zevk alabilir.

ÖĞRENCİ: Tamam bunu yapabileceğime inanıyorum.

ÖĞRETMEN: Kaldığımız yere dönelim. Nerede kalmıştık?

ÖĞRENCİ: Bir noktaya eşit uzaklıkta sonsuz tane noktanın olabileceği bir sistemden bahsetmiştiniz.

ÖĞRETMEN: Evet doğru düzlemde belli bir noktaya eşit uzaklıkta sonsuz tane nokta vardır. Bunu görselle gösterecek olursak belki daha iyi hayal edebilirsin. şimdi sadece sorularıma cevap ver.

ÖĞRENCİ: Tamam sorularınızı bekliyorum o zaman

ÖĞRETMEN: Şimdi kağıda bir nokta koyalım. O nokta bizim sabit noktamız olsun. Bu noktaya eşit uzaklıkta noktalar bulacağız. Elimizdeki kalemin boyu da bizim için uzunluk belirtsin. Şimdi senden kalemin bir ucu bu noktadayken diğer ucunun karşılık geleceği noktaları belirtmeni istiyorum.

ÖĞRENCİ: Tamam bakalım çizmeye başlayalım.

ÖĞRENCİ: Bu noktalar ilginç bir şekil oluşturdu.

ÖĞRETMEN: Neye benziyor bu?

ÖĞRENCİ: Tekerlek gibi bir şey oldu.

ÖĞRETMEN: Çember desek daha doğru olacak.

ÖĞRENCİ: Hiç böyle bir şeklin çıkacağını beklemiyordum, gerçekten şaşırdım. Peki sonsuz tane nokta demiştiniz. Burada sonsuz tane nokta mı var şimdi?

ÖĞRETMEN: Evet sonsuz tane nokta var

ÖĞRENCİ: Başı sonu belli nasıl sonsuz tane nokta olabilir ki?

ÖĞRETMEN: Zor sorular sormaya başladın, Düşünmeye başladın demek ki?

ÖĞRENCİ: Yani orada sonsuz tane noktanın olabileceğini aklım almıyor. Aklım bana böyle bir soru sormama yardımcı oluyor da cevabını bulmam da niye tek başına bana yetmiyor ve yardımcılara gerek oluyor, bunu anlamış değilim.

ÖĞRETMEN: Bizim gibiler sadece doğru düşünmene yardımcı olabilecek kişileriz.

ÖĞRENCİ: O zaman nasıl düşünmem gerektiğini öğret bana matematikten önce.

ÖĞRETMEN: İşte bu matematikle birlikte olacak. Matematiği öğrendikçe düşünmeyi öğreneceksin ve de düşünmeyi öğrendikçe matematikten zevk almaya ve de matematiği öğrenmeye başlayacaksın.

ÖĞRENCİ: Birbirine bağlı olan şey yani düşünmekle matematik…

ÖĞRETMEN: Kesinlikle

ÖĞRENCİ: Peki o zaman bir boyutta iki adet nokta bulduk, iki boyutta sonsuz tane nokta bulduk başka boyutta düşünmeye gerek var mı?

ÖĞRETMEN: İstersen üç boyutu da hayal etmeye çalışalım. Ama bunun cevabını hemen söylemeyeceğim. Biraz düşün. Muhakkak bulacaksın.

ÖĞRENCİ: Tamam düşüneceğim, üç boyut dendiğine göre uzayda hayal edeceğim.

ÖĞRETMEN:Kesinlikle

ÖĞRENCİ: Bir şey daha merak ediyorum, bu konuştuklarımızın matematikle ilgili olduğu konular hangileri?

ÖĞRETMEN: Matematiğin bir alt dalı olan analitik geometrinin en temel kısımlarından biri olmakla beraber daha yüzeysel manada mutlak değer konusu kapsamına girebilir bu konuştuklarımız. Çünkü bir noktanın bir noktaya uzaklığı kavramı mutlak değer konusunun özünü teşkil ediyor.

ÖĞRENCİ: Mutlak değer ha, başlangıcı iyi oldu sanki kafamda bir şeyler şekillendi gibi.

ÖĞRETMEN: Biraz daha işin içine girelim o vakit. Konuşurken daha kolay ifade edilebilmesi açısından A noktasının B noktasına uzaklığını |A-B| ile ifade edelim.

ÖĞRENCİ: Tamam olsun bakalım. yalnız bu formülü biraz daha irdelemek istiyorum.

ÖĞRETMEN: Sor bakalım aklından geçenleri

ÖĞRENCİ: Şimdi A-B ile ne denilmek istediği belli çıkarma işlemi, A’nın B’den farkı bize ikisi arasındaki mesafeyi verecektir. Ama |  |  bunlar ne işe yarıyor onu anlamadım.

ÖĞRETMEN: Çok iyi yerden düşünmeye başladın. çıkarma işlemiyle düşündüklerin konusunda haklısın. | | Bu iki çizgi ise çok önemli bir işlevi üstleniyor. Uzaklığın temelini, negatif olamayacağını söylüyor.

ÖĞRENCİ: Nasıl?

ÖĞRETMEN:Önce şurada netleşelim. Uzaklık negatif olabilir mi?

ÖĞRENCİ: Şimdiye kadar hiç öyle bir şey duymadım. Bir yerin bir yere uzaklığı -50 metre, kulağa komik geliyor.

ÖĞRETMEN: Evet ben de hiç duymadım ve olamaz da zaten.

ÖĞRENCİ: Ee o iki çizgi ile negatifliğin ne ilgisi var?

ÖĞRETMEN: Şöyle ki o iki çizgi bize şunu söylüyor, Diyor ki: |A-B|, A ile B’nin farkını al olur da negatif çıkarsa – yi + ya çevirerek dışarı çıkar.

ÖĞRENCİ: Biraz daha açalım mı?

ÖĞRETMEN: Örnek üzerinden gidelim. |A-5|=2 olsun diyelim. Bunu nasıl yorumlarsın?

ÖĞRENCİ: B’yi 5 vermiş o zaman A noktasının 5 noktasına uzaklığı 2 birim.

ÖĞRETMEN: Çok doğru, peki bu durumda  A ne olur?

ÖĞRENCİ:7

ÖĞRETMEN: Başka? 5 e uzaklığı 2 birim olan başka nokta yok mu?

ÖĞRENCİ: hmmmmm

…. Buldum bir de 3 var. Evet 3’ün de 5’e uzaklığı 2 birim.

ÖĞRETMEN: Peki şimdi beni iyi dinle.

ÖĞRENCİ: Dinliyorum, gerçekten merak ettim o iki çizginin ne işe yarayacağını.

ÖĞRETMEN:|3-5| ne anlama geliyordu?

ÖĞRENCİ: 3’ün 5’e uzaklığı

ÖĞRETMEN:doğru peki 3-5 ne yapar

ÖĞRENCİ: -2

ÖĞRETMEN: ee burada ters giden bir şey oldu?

ÖĞRENCİ: İyi de ben 3 noktasının 5 noktasına uzaklığını bulmak için 3 den 5 çıkarma yapmak yerine 5 den 3’ü çıkarırım.

ÖĞRETMEN: Doğru düşünüyorsun. Ama bazen öyle problemlerle uğraşacağız ki bunlar sayı olmayacak.

ÖĞRENCİ: Tamam o zaman şimdi neden gerekli olduğu belli oldu.

ÖĞRETMEN: Evet yani o iki çizgi bize |3-5|=|-2| demek ayrıca |3-5| 2 birim demekti. Demek ki |-2|=2 oluyormuş ve dolayısıyla || bu iki çizgi içindeki negatif sayıyı pozitif sayıya çeviriyormuş.

Haydi şimdi de mutlak değerin tanımını verelim.

|a-b| neye eşittir ya da içerideki ifade dışarı nasıl çıkar?

ÖĞRENCİ: bu a ve b nin durumuna göre değişir. Eğer a, b den büyükse içerisi pozitif olacağı için aynen çıkar yok tersi söz konusuysa içerisi negatif olduğundan  eksi ile çarparak dışarı çıkartmalıyız.

ÖĞRETMEN: |x|  nasıl dışarı çıkar?

ÖĞRENCİ: Bir önceki söylediklerimden farkı yok. Aynı şeyler geçerli x pozitif bir sayıysa aynen çıkar değilse eksi ile çarparak çıkartırız.

ÖĞRETMEN: Bu konuştuklarımızı toparlayalım o vakit.

&

Gönül ister ki her öğrenciyle bu süreci birebir yaşayalım. Ama günümüz şartlarında buna zaman noktasında yetişemeyeceğimiz de aşikar. Her kavram için genel bir şey yapmak yerine kavrama dair özel şeylerle öğrenciyi derse daha hazırlıklı hale getirebiliriz. Yeri gelir bu yazımızda yaptığımız gibi şeyler yapabiliriz, yeri gelir bir kavram karikatürüyle bunu başarabiliriz, ya da bir videoyla. Yani biz öğretmenler de biraz bu konuda kafa yormalıyız. Eğer imkanımız varsa mesela soru bankası hazırlamak yerine daha yaratıcı şeyler yapıp matematiksel kavramların anlaşılmasına yönelik etkinlikler kitabı pekala hazırlayabiliriz. Ama bu bir soru bankası hazırlamak kadar kolay değil ve aynı zamanda onun kadar maddi getirisi de yok. Ama ideali olan insanlar için de zaten para söz konusu değil, değil mi?

Yanılıyor muyum acaba?!

Aykut ÇELİKEL

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı tartışma zemininde okumak.

Bunlara da Göz Atın

Zorlu Ama Başarılı: Japonya Eğitim Sistemi

Günümüzde bazı ülkelerin hızla ilerlemeleri ve gelişmiş ülke sıralamasında en üst noktalara gelmelerinin temelinde eğitimin …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir