Matematiğe Yön Veren Yedi Talih Oyunu

Tarih boyunca şans oyunlarının ve bazen de kumarın bilim için esas olan birçok fikri etkilediğini biliyor musunuz? 

1. Zar oyunları ve yeni bir bilimin doğuşu

16. yüzyılda şansı ölçmenin/ölçümlemenin hiçbir yolu mevcut değildi. Biri bir zar oyununda iki kez üst üste altı attığında bu sadece iyi şans olarak değerlendirilirdi. Hayatı boyunca kumar alışkanlığı olan İtalyan fizikçi Gerolamo Cardano ise farklı düşünüyordu. Bahis oyunlarını matematiksel yönden ele almaya karar verdi. Olası durumların örneklem uzayında nasıl gezinilebileceğini anlatan kumarbazın el kitabı adlı eseri kaleme aldı. Örneğin, iki zar 36 farklı biçimde gelebilecek iken bunlardan sadece biri altı-altı olabiliyordu.

Bu, günümüzde olasılık teorisi olarak adlandırılan teoriye de kaynaklık etmiştir. Bir diğer deyişle artık bir olayın olma olasılığını, yani ne ölçüde şansımız olduğunu hesaplayabilme imkanına sahip oluyorduk böylelikle. Bu yeni yöntem sayesinde Cardano kumarhanelerde büyük bir avantaj yakalıyor ve matematik bilimi de yeni bir çalışma alanı kazanmış oluyordu.

2. Puanlama Problemi

Şimdi bir arkadaşınızla yazı-tura attığınızı ve toplam altı atışta kazananın da 100 $ alacağını varsayalım. Peki ya oyun siz 5-3 önde iken bitirilecek olursa bu para nasıl paylaşılacaktır dersiniz. İşte 1654’te bir Fransız soylusu olan Antoine Gombaud, Pierre de Fermat ve Blaise Pascal adlı matematikçilerden tam da böyle bir “puanlama problemini” nasıl çözeceği konusunda yardım istemiştir.

Fermat ve Pascal bu problemin üstesinden gelebilmek için “beklenen değer” olarak bilinen kavramı geliştirmişlerdir. Bu kavram kısaca eğer oyun hedefe varılana dek oynansa her bir oyuncunun ortalamada kaçar kez kazanacaklarının oranlanması olarak ta tanımlanabilir. Bu kavram günümüzde ekonomi ve finansta son derece önemli bir rol oynamakta ve bizlere bir yatırımın beklenen değerinin hesaplanması suretiyle bu yatırımın taraflara getiri/ götürüsünün ne olacağını tam olarak değerlendirmemize olanak sağlamaktadır.

Biraz önceki örneğimize dönecek olursak, 5-3 geride olan arkadaşınızın kazanabilmek için art arda üç doğru atışyapması gerekmektedir ki bunun da olasılığı 8’de 1’dir. Yani bir diğer deyişle ortalama bir hesapla sizin kazanma şansınızın 8’de 7 olduğu anlamına gelmektedir. O halde söz konusu para ödülü de 7’ye 1 oranında paylaştırılmalı, yani sizin 87,5$, arkadaşınızın ise 12,5$ alması gerekmektedir.

3. Rulet ve İstatistik

1980’lerde Le Monaco gazetesi, Monte Carlo kumarhanelerindeki rulet sonuçlarını düzenli olarak yayınlamaktaydılar. O dönemde bir matematikçi olan Karl Pearson’un tam da aradığı şeydi bu. Pearson raslantısal olaylarla ilgilenmekteydi ve yöntemlerini test etmek için verilere ihtiyacı vardı. Ne yazık ki rulet masasında elde edilen sonuçlar onun umduğu kadar da rastlantısal değildi. Monte Carlo’da oynanan rulet oyunu dünyadaki jeolojik çağların başlangıcından bu yana oynanıyor olsaydı bile, verilerini incelemiş olduğum bu iki haftadaki oluşuma bir kez bile rastlanmazdı şeklinde bir ifadesi olmuştur Pearson’ın.

Pearson’ın rulet oyununun analizi ile ortaya koyduğu analiz günümüzde bilimin vazgeçilmez unsurlarından biri olmuştur. İlaçlar üzerindeki çalışmalardan tutun, CERN’deki deneylere kadar araştırmacılar bulgularındaki abartılı sonuçların tamamen tesadüfi olup olmadığını test etmekte bu yöntemleri kullanmaktadırlar. Hipotez testi olarak adlandırılan bu yöntem ile hipotezlerinin ne ölçüde kabul edilebilir olduğunu, hipotezlerini destekleyici yeterince kanıt olup olmadığını test edebilmekte ve bulgularının tamamen tesadüfi olup olmadığını gözlemleyebilmektedirler.

4. St Petersburg Piyangosu

Şimdi sizinle şöyle bir oyun oynuyor olalım. Ben tura gelene dek ardarda bir para  atayım. İlk atışta tura gelirse size 2 TL vereyim, ikincide gelirse 4 TL, üçüncüde gelirse 8TL vereyim ve oyun bu şekilde her seferinde vereceğim para ikiye katlanacak şekilde sürsün. Böyle bir oyunu oynamak için bana ne kadar para vermeye razı olurdunuz acaba?

St. Petersburg piyangosu olarak bilinen bu oyun 18’inci yüzyıl matematikçilerinin kafasını oldukça karıştırmıştır, çünkü oyunun umulan getirisi (bir diğer deyişle çok fazla miktarda oynandığında getireceği umulan kazançların ortalaması) devasa boyutlarda idi. Bununla birlikte çok az kimse bu oyunu oynamak için yüksek rakamlar ödemeye razı oluyordu.

1738’de, Daniel Bernoulli adlı bir matematikçi bu bilmeceyi “yarar” kavramını gündeme getirmek suretiyle çözüyordu. Bir insanın ne denli az parası varsa, o insanın düşük kazanma şansı olan yüksek meblağlı bir iddia riske gireceği para miktarı da o denli düşüyordu. “Yarar” kavramı günümüz ekonomi teorilerinde oldukça önemli bir yer işgal etmekte olup tüm sigortacılık endüstrisini destekleyen başlıca kavramlardan da birini oluşturmaktadır. Çoğumuz, toplamdaki ortalama ödememiz bertaraf edilmesi düşünülen zarardan çoğunlukla büyük bile olsa potansiyel büyük bir zarardan kaçınabilmek için küçük ve düzenli bir bedeli ödemeye hazırızdır.

5. Rulet Oyunu ve Kaos Teorisi

1908 yılında Henri Poincaré adlı bir matematikçi, insanın öngörüde bulunabilme becerisini ağırlıklandırdığı  “Bilim ve Yöntem” adlı kitabını yayınlamıştır. Poincaré, kitabında rulet türünde oyunların raslantısal  gözüktüğünü, çünkü rulet oyununda dönmekte olan topun ilk atılış hızının (hassas bir biçimde ölçülmesi oldukça zor) hangi yuvaya düşeceğinin belirlenmesinde çok büyük bir rolü olabileceğini öngörmekteydi. 20’inci yüzyılın ikinci yarısında bu “başlangıç koşullarına olan yüksek duyarlılıktaki bağımlılık” “kaos teorisi” kavramının da temellerinden birini oluşturmuştu. Buradaki amaç, fiziksel ve biyolojik sistemlerdeki öngörülebilirliğin sınırlarını incelemekti.

Kaos teorisi bilimsel alanda yerini alınca rulet oyunu ile olan ilişkisi de daha da öne çıkarılmaya başlanmıştır. Kaos teorisinin 1970’lerdeki öncülerinden olan fizikçiler, J. Doyne Farmer ve Robert Shaw öğrencilik yıllarında kumarhanelere gizlice bilgisayar sokarak rulet topunun hızını ölçmeye ve bundan yola çıkarak sonuçlar hakkında tahminde bulunmaya önemli bir vakitlerini ayırmışlardır.

6. Solitaire Oyunu ve Simülasyonun Gücü

Bilgisayarlar olasılık alanında oldukça önemli bir rol oynamışlardır. Bu alandaki belli başlı gelişmelerden biri Stanislaw Ulam adlı matematikçi sayesinde yaşanmıştır.Ulam çalışma arkadaşlarının aksine uzun hesaplamalardan hoşlanmayan bir yapıya sahipti. Bir keresinde Canfield adlı ve kumarhanelerde oynatılmakta olan bir tür solitaire oyununu oynarken kartların kazanacak kombinasyonda gelme olasılığını merak etmişti.Olasılıkları hesapla bulmak yerine kartları açarak oldukça fazla sayıda deneme yapmış ve böylelikle sonuca gitmiştir.

1947 yılında Ulam ve meslektaşı John von Neumann, New Mexico’dakiLos Alamos Ulusal Laboratuarında yapılmakta olan zincirleme nükleer reaksiyonları incelemede Monte Carlo metodu adını verdikleri yeni bir yöntem uyguladılar. Tekrarlara dayalı bilgisayar simülasyonları yardımıyla geleneksel matematiksel yöntemlerle çözülmesi çok komplike olan bir problemi çözüme kavuşturdular. O zamandan günümüze Monte Carlo metodu bilgisayar grafiklerinden tutun, salgın hastalıkların incelenmesine dek bir çok endüstrinin vazgeçilmez bir parçası olmuş durumdadır.

7. Poker ve Oyun Teorisi

John von Neumann bir çok alanda çok parlak bir matematikçiydi. Poker oyununa ilgisi nedeniyle de hangi stratejilerin etki olabileceğini araştırmak amacıyla bu oyunu matematiksel olarak analiz etmeye karar verdi. Her ne kadar hangi kartların gelebileceği sorusu olasılığın alanına giriyorsa da kazanmada etkin olan tek faktör sizin ve rakibinizin eline gelen kartlar değil aynı zamanda rakibin hangi oyun tarzını benimseyeceğinin de önemi vardı.

Von Neumann’ın poker ve bakara benzeri oyunlar üzerinde yaptığı analizler onu “oyun teorisi” alanına götürmüş oldu. Oyun teorisi birden fazla oyuncu tarafından oynanan oyunlarda izlenecek strateji ve karar verme mekanizmalarının matematiksel olarak incelenmesine dayanmaktadır. Von Neumann’ın fikirleri üzerine çalışmalar yapanların başında “Beautiful Mind”adlı filme de konu olmuş John Nash gelmektedir. Oyun teorisi ekonomi, yapay zeka ve evrimsel biyoloji alanlarında kendine yer bulmuştur. Bir zamanlar von Neumann’ın da dikkat çektiği gibi “gerçek hayat blöflerden ibarettir.”

Aşağıdaki konuşmada Adam Kucharski bilim ve kumar arasındaki ilişkinin uzun ve karmaşık tarihçesini anlatıyor ve kumar oyunlarının neden şans ve karar verme mekanizmalarına dair ipuçları vermeyi sürdürdüğünü tartışıyor.


Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Nurgul Kendirlioglu

Selçuk Üniversitesinde Matematik Lisansımı bitirdikten sonra Kocaeli Üniversitesinde Yüksek lisansımı tamamlayıp, Anadolu Üniversitesi Sosyoloji bölümünü bitirdim. Aslında nereli ve nereleri bitirdiğimiz çok da önemli değil… Matematiğe, bilime ve insanlığa dair farkındalık kazandırabilirsek, sanki var olduğumuz dünya daha yaşanılabilir olacak. Zira doğum ve ölüm arasında kalan zamanda, işe gitmek,fatura ödemek, tv izlemekten daha başka şeyler yapmak için dünyada olduğumuzu düşünüyorum.Okumayı, dinlemeyi, izlemeyi, yeni ve insanlığa faydalı güzel şeyleri keşfetmeyi ve paylaşmayı seviyorum… Keyifli okumalar dilerim. :)

Bunlara da Göz Atın

Matematikçi Şairler Algoritması – Turgut Uyar

“nedir sonsuzdan bir önceki sayının adı diyelim sonsuz eksi bir sonsuz eksi bir hayatın adıdır …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');