Martin Gardner’in En İyi Matematiksel Bulmacalarını Çözebilir Misiniz?

“Bulmacalar sizi matematiğin hemen hemen her dalına götürebilir.” – Martin Gardner

Martin Gardner bir gazeteci, bir romancı, bir sihirbaz, bir filozof ve “sözdebilim”in en eski halka açık tartışmacılarından biriydi. (Çevirmen Notu: Sözdebilim veya sahte bilim (pseudoscience), bilimsel kanıtlar kullanılarak ileri sürülen, ancak bilimsel çalışmaların gerektirdiği materyal, metot, test edilebilirlik (doğrulanabilirlik) gibi standartları taşımayan veya yeterli bilimsel araştırma ile desteklenmeyen iddia, inanç, bilgi ve uygulamalar bütününe verilen addır. – Wikipedia)

Günümüze kadar matematiksel bulmacaları popülerleştirmede muhtemelen en çok tanınan – ve en çok sevilen- oydu.

1950’ler ve 1980’ler arasında Scientific American’da yazdığı Matematiksel Oyunlar adlı aylık köşe yazısında birçok bilmecelerin yanı sıra eski klasiklerine yeni değişiklikler ekledi.

Gardner bulmaca ve eğlence matematiği üzerine onlarca kitap yazdı – burada o kitaplardan alınan sekiz bulmaca bulunmakta. Onları çözebilir misiniz?

1- Çılgın Kesik

Bir kesik yaparak ya da bir çizgi çizerek – tabi ki düz olması gerekmez – bu şekli iki özdeş parçaya böleceksin.

2- Renkli Çoraplar

On kırmızı ve on mavi çorap bir tuvalet çekmecesinde karıştırılıyor. 20 çorap da renkleri hariç birbirlerine benziyor. Oda zifiri karanlık ve çorapları ikişerli eşleştirmek istiyorsun. Eşleşen bir çifti bulduğuna emin olmak için çekmeceden çıkarman gereken en az çorap sayısı kaçtır?

3- Çift Cıvatalar

İki aynı cıvata, sarmal olukları aşağıda gösterildiği gibi birbirine geçecek şekilde birlikte yerleştirilir. Cıvataları, her birinin kafasından, dönmesin diye sıkıca tutarak, başparmaklarını birbirinin etrafında çevirdiğin gibi, cıvataları birbiri etrafında gösterilen yönde hareket ettirirsen; kafaları:

(a) içe doğru mu hareket ederler,

(b) dışa doğru mu hareket ederler veya

(c) birbirlerine aynı mesafede mi kalırlar?

 

4- Yolda Çatallanma

Bir mantıkçı Güney Denizleri’ndeki tatilinde, kendisini yalancıların ve gerçeği söyleyenlerin meşhur kabilelerinin yaşadığı bir adada bulur. Bir kabilenin üyeleri her zaman gerçeği söylemektedir, diğer kabilenin üyeleri ise her zaman yalan söylemektedir. Mantıkçı bir yolda bir çatallanmaya gelir ve yerli halktan birine hangi dalın kendisini köye ulaştıracağını sorması gerekmektedir. Mantıkçının, yerlinin gerçeği mi yoksa yalan mı söyleyen biri olduğunu anlamasının hiçbir yolu yoktur. Mantıkçı bir süre düşünür, sonra yalnızca bir soru sorar. Cevaptan hangi yolu seçeceğini bilir. Mantıkçının sorduğu soru nedir?

5- Üç Kare

Yalnızca temel geometri (trigonometri bile değil) kullanarak, C açısının A ve B açılarının toplamına eşit olduğunu kanıtlayın.

6- Pastayı Kesmek

Düz bir kesikle bir pastayı iki parçaya bölebilirsiniz. Birinci kesiği kesen ikinci bir kesik dört parça meydana getirecektir ve üçüncü bir kesik ile en çok yedi parçaya kadar parça elde edilebilir. Altı düz kesikle elde edebileceğin en fazla parça sayısı nedir?

 

7- Parçalanmış Satranç Tahtası

Bu soru için gerekenler bir satranç tahtası ve 32 domino taşı. Her bir domino, satranç tahtasındaki iki kareyi tam olarak kapsayacak büyüklüktedir. Bu yüzden 32 domino satranç tahtasındaki 64 karenin tamamını kaplayabilir. Ama şimdi diyagonal (köşegen) olarak tahtanın karşıt köşelerindeki iki kareyi kestiğimizi ve domino taşlarından birini çıkardığımızı varsayalım. (Çevirmen Notu: Tahtadan çıkarılacak parçalar aşağıdaki görselde daha rahat anlaşılabilir.)

Geriye kalan 62 karenin tamamen kaplanabilmesi için 31 domino taşını tahtaya yerleştirmek mümkün müdür? Eğer mümkünse, bunun nasıl yapılacağını gösterin. Eğer mümkün değilse, imkansız olduğunu kanıtlayın.

8- İki Spiral

Bu spirallerden biri uçları birleştirilen tek bir ip parçasından oluşmaktadır. Diğer spiral ise uçları birleştirilmiş iki ayrı ip parçasından oluşmaktadır.

Sadece gözlerini kullanarak hangisinin hangisi olduğunu söyleyebilir misin? Çizgileri bir kalemle takip etmek hiç adil değil.

 

Bulmacaların çözümlerini görmek için aşağı doğru kaydırın

 

1- Çılgın Kesik

Bir kesik yaparak ya da bir çizgi çizerek – tabi ki düz olması gerekmez – bu şekli iki özdeş parçaya böleceksin.

Çözüm:

İpucu kırmızı bir ringa balığı değildi. (Çevirmen Notu: bu “red herring”, yani “kırmızı ringa balığı” ifadesi, bir fikir yürütme olayı sırasında dikkati dağıtan ipucu anlamına gelmektedir. Bir başka deyişle kasıtlı olarak yanlış yönlendirme, dikkatleri gerçek sorundan başka bir tarafa yöneltme anlamına gelen bir ifadedir. Yazının orjinalinde geçmektedir) Çizgi düz olmak zorunda değil.

2- Renkli Çoraplar

Çözüm: Üç çorap.

İki çorap çıkardığında biri kırmızı ve diğeri mavi olabilir. Ancak üç çorap çıkardığında her zaman eşleşen bir çift vardır, ya üç tane aynı renkten seçmiş olursun ya da eşleşen bir çift ve farklı olan birini seçmiş olursun.

3- Çift Cıvatalar

Çözüm: (c). Sarmal oluklu cıvataların kafaları ne içe ne de dışa doğru hareket eder. Hareketleri birbirlerini – bir yürüyen merdivende yürüyen bir insan gibi, aşağı indiği oranda etkisiz hâle getirir. İki cıvata ya da vida alırsanız deneyin, eğlenceli görünüyor.

4- Yolda Çatallanma

Çözüm: Buradaki zorluk, bir yalancıyı bir yalan hakkında yalan söylemeye zorlayan bir soru bulmak ve böylece gerçeği söyletmek.

İşe yarıyor: Çatallardan birini işaret edin ve yerliye sorun: “Eğer sana bu yolun köye gittiğini sorsaydım, bana evet der miydin?”

Eğer çatal doğru olansa, bir yalancı ‘Bu yol köye götürür mü?’ sorusuna hayır cevabını verecektir ve bu nedenle, asıl soruya verdiği yanıt (yalan söyleyeceğinden) evet olmalıdır.

Eğer yol doğruysa gerçeği söyleyen de yine evet diyecektir.

(Çevirmen Notu: Gösterilen yol yanlış yolsa, sorulan asıl sorunun soruluş şeklinden dolayı yalancı hayır diyecektir; gerçeği söyleyen zaten hayır diyecektir. Yani her iki durumda da gösterdiğimiz yolun doğru olan mı yoksa yanlış olan mı olduğunu öğreniyoruz.)

5- Üç Kare

Yalnızca temel geometri (trigonometri bile değil) kullanarak, C açısının A ve B açılarının toplamına eşit olduğunu kanıtlayın.

Çözüm: İşte bunu yapmanın bir yolu.

Kesikli çizgilerle gösterilen ek kareleri oluşturun. C açısı A ve D açılarının toplamına eşittir çünkü C açısı da A ile D açısının toplamı olan açı da köşegen çizilip yarım kare elde edilerek elde edilirler. B açısı, D açısına eşittir; çünkü benzer dik üçgenlerin, yöndeş açılarıdır. (Çevirmen Notu: B açısının olduğu ve iki karenin oluşturduğu dikdörtgenin yarısı oluşturan üçgen ile kesikli çizgilerle çizilen dikdörtgenin yarısını oluşturan dik üçgenden bahsediliyor. B ve D açılarının ikisi de, bulundukları üçgenlerde dik kısa kenarı gösterir, bu yüzden üçgenlerde benzerlikten yöndeştirler ve dolayısıyla eşittirler.) B açısı D açısına eşit olduğundan, A ile D toplamında D yerine B yazabiliriz; bu da C açısının A ile B açılarının toplamına eşit olduğunu gösterir.

6- Pastayı Kesmek

Çözüm: Deneme yanılma ile bunu yapabilirsiniz, ancak çizim biraz karman çorman olacak ve çizim ayrıntılı olarak anlaşılır olmayacak. Bir kural düşünmek daha iyidir. Yani, düz kesikler eklediğinizde neler olduğunu düşünün.

İlk kesik pastayı 2 parçaya böler.

İkinci kesik 2 parça daha getirir ve toplam parça 4’e çıkar.

Üçüncü kesik toplamı 7’ye çıkartan 3 parça daha getiriyor.

Her kesik, kaçıncı kesik sayısı olduğuna göre toplam parça sayısına parça ekliyor gibi gözüküyor. Bunu ödev için bırakacağım… veya buraya tıkla.

Böylece, dördüncü kesik en çok 4 yeni parça, beşinci kesik en çok 5 yeni parça ve altıncı kesik en çok 6 yeni parça oluşturacaktır. Dolayısıyla oluşacak en fazla parça sayısı 22’dir.

7- Parçalanmış Satranç Tahtası

Çözüm: İki karşı köşesindeki kareleri olmayan satranç tahtası, 31 domino taşıyla kaplanamaz.

Öncelikle, bir domino taşının daima satranç tahtasının bitişik iki karesini kapladığının, bunların daima zıt renkli olmaları gerektiğinin farkına varmalıyız.

Parçalanmış satranç tahtasının iki karesinden başka bir bölümünü kaplayabilseydin, kalan iki kare aynı renkte olurdu (çıkarılan köşelerle karşıt renkte). Bitişik kareler zıt renkli olduğundan, kalan kareler bitişik değildir ve bu nedenle son domino taşı tarafından kaplanamaz.

(Çevirmen Notu: Burada kaplanamayacağını göstermek için matematikteki ispat yöntemlerinden olmayana ergi yöntemi kullanılarak ispat yapılmıştır. Şöyle ki; başta köşeleri çıkarılan satranç tahtasının kaplanabileceği kabul ediliyor, sonrasında kapladıktan sonra geriye kalan son iki karenin aynı renkte olacağı görülüyor. Bir domino taşı iki kareyi kapladığı için ve satranç tahtasında aynı renkli iki kare yan yana olamayacağı için, sona kalan iki karenin bitişik olmayacağı sonucuna ulaşıyoruz. Son iki karenin bitişik olmaması demek, bir domino taşının bu iki kareyi kaplayamayacağını gösterir. Başta kaplanabileceğini kabul etmiştik, oysaki akıl yürütmemiz sonucu vardığımız yargıda kaplanamayacağına ulaştık. Bu da bize başta kabul ettiğimiz yargının yanlış olduğunu gösterir. Dolayasıyla parçaları çıkarılan satranç tahtası tamamen kaplanamayacaktır.)

8- İki Spiral

Çözüm: Soldaki spiral tek iptir.

Çeviri: Atakan YÜCEL

Kaynak: https://pagez.com/2957/can-you-solve-martin-gardners-best

 Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Atakan YÜCEL

Merhaba! Edirne Keşan Anadolu Öğretmen Lisesi'nden 2014'te mezun oldum. İzmir Dokuz Eylül Üniversitesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği bölümünde son sınıf öğrencisiyim. Kendimi geliştirebileceğim her alanda geliştirmek için çaba harcıyorum. Bireylerin özgelişimlerinin hiçbir zaman sona ermeyeceğini ve herkesin kendisini geliştirmesi için farklı alanlarda birtakım fırsatları olduğunu düşünüyorum. Fırsatların olmadığı zamanlarda ise gerçekten gelişim isteyen bireylerin, kendilerine fırsatlar yaratabileceğine inanıyorum. İlerlediğim bu özgelişim yolunda birçok çalışma yapmak için çaba sarf ediyorum. Kitaplar okuyor ve yazılar yazıyorum. Alanım olan matematik ile sınırlı kalmayıp, felsefeye ve sanata da vakit ayırıyorum. Bakış açımı genişletmek için farklı ülkelerden, farklı kültürlerden insanlarla tanışıyorum ve bunun için zaman yaratıyorum. Yeni diller öğrenmek için ise KPSS'den sonrası için planlar yapıyorum. Bireyin özgelişimini gerçekleştirirken alması gereken güç, her zaman kendi içindeydi ve hala da içinde. Bu gücü kullanmaya giden yol, tamamen zihnimizde bitiyor. İyi gelişmeler dilerim!

Bunlara da Göz Atın

Hailstone Serileri ve Bir Açık Problem

Sizlerle küçük bir oyun oynayalım. Elinize bir sayı alın. Hangi sayıyı aldığınızı tahmin etmesi güç …

2 Yorumlar

  1. En az 11 çorap alması gerekmez mi acaba.. Bir çift çorap kesin ve kesin olsun.. 3 yanlış cevap diye düşünüyorum..

    • Bir çift çorabı kesin ve kesin olarak elde edebilmemiz için, çekmeceden çıkardığımız çoraplardan iki tanesinin aynı renkte olması gerekir. Çekmece iki farklı renkte çoraplar (kırmızı ve mavi) ile dolu. Biz çekmeceden 3 tane çorap çektiğimizde bunlar; 3 kırmızı, 3 mavi, 2 kırmızı 1 mavi veya son olarak 1 kırmızı 2 mavi olabilir. Her olasılıkta da çekmecede yalnızca iki farklı renk olduğu için 3 çorap çıkarıldığında bir renk her zaman bir çift oluşturacaktır. Bu yüzden en az 3 çorap çıkarmalıyız. Ayrıca çıkaracağımız çorapların sırası önemli değil; çıkarıyoruz ve elimizde herhangi bir çift var mı ona bakıyoruz.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir