Limitin Öyküsü

Augugtin Louis Cauchy’nin (1789-1857) yaşadığı dönem, Fransa’da toplumsal kargaşaların, savaş ve ihtilallerin yoğun olduğu bir dönemdir. Buna karşın matematikte getirdiği tanımlar, detaylar üzerindeki son derece titiz tutumu ve düşüncelerini alabildiğine sade ve düzgün bir şekilde formüle edişi onu çağdaşlarından farklı kılmaktadır.

21 Ağustos 1789’da Paris’te doğan Caııchy bir ihtilal çocuğudur. Siyasi ve ekonomik krizler yüzünden çocukluğu yoksulluk içinde geçmiş olmasına karşın matematik dünyasına kazandırdığı kavramlar büsbütün devrimcidir. Onun yazdığı herşeyde bir önsezi, genelleme ve son derece profesyonel bir sınıflama duygusu vardır. Cauchy’nin 789 yayımlanmış makalesi vardır. Bu makalelerinin bazıları üçyüz sayfayı geçmektedir. Onun bu uzun makalelerinden dolayi baskı maliyetleri artan dergiler makalelere 4 sayfa sınırını getirmiştir. Bu gelenek bu dergilerin bir çoğunda hala devam etmektedir.

İhtilal nedeniyle okulların kapalı, giyotinlerin açık olduğu bir dönemde Caııchy köyünde en saf ve duru duygularıyla şiirler yazmış, matematik çalışmıştır. Temel eğitimini evde babasından almış olan Cauchy 13 yaşına kadar okula gitmemiştir. Onun matematik yeteneğini ilk Laplace ve Polytechnique’de profesör olan Lagrange keşfetmiştir. Lagrange, Laplace’ın da bulunduğu bir toplantıda arkadaşlarına “Bu genç bir gün hepimizi geçecek” dediğinde belki Laplace dışında kimse onu ciddiye almamıştı.

Cauchy 1816 da bir zamanlar öğrenci olduğu Polytechique’de matematik profesörü olur ve o dönemin en büyük görevlerinden biri olan Bilimler Akademisine seçilir. 1820 lerde yazdığı önemli eseri “Cours d’Analyse” de gelecek yüzyılın matematik eğitiminin standartlarım belirlemiştir. Bu kitabın kalküluse verdiği biçim hala geçerlidir. Kalkülus’un Cauchy’si 18. yüzyılın küçüklüklerine sırtını çevirmiş biridir. Ama toplumun kendisi hakkındaki ön yargısı, “bağnaz katolik matematikçi” tanımlaması canını çok sıkmış olmalı ki bu tanımlamanın isim babası diye düşündüğü genç Abel’in makalesini uzun süre elinde tutmuş Abel’in ölüm gününe kadar yayımlatmamıştır. Cauchy yeni kurulan hükümete bağlılık yemini etmediği için 1830’da İtalya’nın Tülin kentine yerleşmiş, burada uzun süre matem­atiksel fizik profesörlüğü yapmıştır. 1838 de Paris’e geri döndüğünde yemin konusundaki tutumunu değiştirmediği için devlet kurumlarında görev alamamış ve uzun süre dini okullarda ders vermek zorunda kalmıştır. 1848 de yemin koşulu kaldırılınca eski görevine dönmüş ve ömrünün sonuna kadar Sarbonne’da çalışmıştır.

Çağdaş matematiğinin hemen hemen her yerinde; teoremlerde, tanımlarda onun izleri vardır. Onun matematiğe katkılarını bu yazıya sığdırmak mümkün olmasa da ders kitaplarından aşina olduğumuz bazılarını not düşelim yine de. Serilerin yakınsaklığı ve ıraksaklığı üzerine testler, süreklilik ve türevin limit kavramı ile tanımlanması, determinant ve sayılar kuramı üzerine eşsiz çalışmalar bunlardan bir kaçı…

Cauchy ile birlikte sonsuza kadar küçülen ve sonsuza kadar büyüyen sayılar kuramı limit kavramına yerini bırakır.

Bir A noktasından B noktasına olan mesafe 1 metre olsun. Zeno, bir kişinin bir noktadan diğer noktaya ulaşması için önce yolun yarısını kat edeceğini, sonra kalan yolun yansını ve bu işlemin bu şekilde sürüp gideceğini sonuç olarak sonsuz bölünmeden dolayı kişinin diğer noktaya hiç bir şekilde ulaşamayacağını ileri sürer:

Şimdi bu yolculukta alınan toplam mesafe adımların toplamından daha farklı bir şey değildir. Sembolik olarak bunu

 

biçiminde ifade edebiliriz. Madem bu değer terimlerin sonsuz sayıda toplanması üzerinde kurulmuştur öyleyse sonuçta sonsuz olmalıdır. Böylelikle Zeno’nun aceleci ama doğal sonucuna göre, katedilen mesafe sonsuz olacağından A dan B ye asla ulaşılamaz. Bu paradoks 2000 yıldan fazla var olduğundan Zeno da ortaöğretim ve yüksek öğretim kitaplarında hep var olmuştur.

Oysa deney ve gözlemlerle açığa çıkartılan dünyanın ötesinde, bir diğer dünya vardır ki bu dünya tanımlarla açığa çıkartılmış bir dünyadır. Bu problemde var olan limit kavramı sonsuz toplamı mümkün kılar ve bu kavram ilginç bir şekilde gerçek dünyada yerini alır. Temel fikir basit ve göz alıcıdır, keşfedici ve yaratıcıdır. Bu kavram sayesinde matematikçi sonlu bir miktara ulaşmak için sonsuz bir çok sayıyla mücadele etme gücünü bulmuştur.

Yukarıdaki toplamı S(n) olarak düşünelim. Bu durumda alınan mesafeyi hesaplamaya kalkarsak:

biçiminde devam eder ve kısmı toplamların giderek 1 sayısına yaklaştığı ortaya çıkar. Bu kısaca  biçiminde ifade edilir.

Limit kavramı bize anlamsız gözüken şeyleri anlamlı kılmaya yönelir. Ayrıca bu kavram sayesinde matematikçilere paradokslara karşı manevra yapmak için bir alan yaratılmış olur. Matematikçiler görülmeyen şeyleri görmeye başlamıştır.

Ünal Ufuktepe

Matematik Dünyası Dergisi Nisan 2001

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Matematiksel Eşitliklerde Güzellik – Çirkinlik Algısı

Beyin taramalarının gösterdiğine bakılırsa matematiksel formüllerdeki karmaşık sayı ve harf dizileri beynimizde sanatsal bir başyapıtın …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');