Kutuplardaki Buzullara Matematik Sayesinde Ulaşabilmek!

Uygulamalı matematiğin gözlemleyemediklerimize bizi ulaştırdığı bir başka örnek daha !

Evet gerçek şu ki gelişen teknoloji sayesinde erişemediğimiz ya da düzenli veri alımının oldukça zor olduğu bölgeler hakkında uydular sayesinde birçok bilgi toplamaktayız… Peki uydular her yere ulaşabiliyor mu? Hiç düşündünüz mü teknolojinin ulaşamadığı, gözlemleyemediğimiz bölgeler hakkında nasıl bilgi sahibi olabiliriz, örneğin kutuplardaki deniz buzulları ?

Deniz buzulları, Arktik okyanus yüzeyinde ve Antarktika kıtası çevresinde oluşan donmuş deniz suyudur. Deniz buzulları gezegenimizin milyonlarca kilometrekarelik yüzeyini kaplarlar ve çeşitli mikroorganizmalar, küçük kabuklular, deniz kuşları ve memeliler için çok önemli bir yaşam alanı sağlarlar.

Deniz buzullarındaki gözlemlenen azalma, yaklaşık her on yılda bir yarım milyon kilometrekare, küresel iklimi ve ekosistemleri önemli ölçüde etkiliyor. Deniz buzullarının albedo değeri oldukça yüksektir, bir başka deyişle deniz buzulları yüzeye ulaşan güneş ışınlarının çoğunu geri yansıtır. Bu nedenle erime nedeniyle azalan buz örtüsü iklim sistemine giren daha fazla güneş enerjisine neden olur, bu da daha fazla ısınmaya ve daha çok erimeye neden olur. Nitekim, 2012 eylül ayında Arktik okyanusundaki buzul miktarı yaklaşık 3.4 milyon kilometrekareye düştü ve bu alan 1979-2000 yılları ortalamasının yaklaşık yarısı kadardı. Bu konuyla ilgili ayrıntılı bilgi için “Arktik Okyanusu’nda Buzullar Eriyor, Seyrediyoruz!” başlıklı yazımızı okuyabilirsiniz.

1972 yılından itibaren NASA deniz buzullarını, buz tarafından yayılan mikrodalga ışımalarını ölçen uydular sayesinde gece gündüz izliyor. Bu uydulardan elde edilen veriler 25 km’lik uzamsal çözünürlüğe sahip olup şu ana kadar gözlemleyebildiğimiz en uzun süreli ve en geniş buzul alanına sahip verilerdir. Maalesef, uydunun yörünge eğikliği (orbit inclination) ve uydu üzerindeki cihazın yeryüzünde taradığı alan genişliği (swath) kuzey kutbunu tamamen tarayabilecek durumda olmayıp bu bölgede veri eksikliğine neden olur. (Bakınız Sekil 1, en soldaki görüntü).

Sekil 1: Soldaki görüntü 30 Ağustos 2007 kaydedilmiş olup kutup bölgesindeki veri eksikliğini göstermektedir. Ortadaki ve sağdaki görüntülerde eksik verilerin elde edilen tahminlerle tamamlanmış halini göstermektedir (Kaynak: Strong ve Golden 2016)

Araştırmacılar uzun yıllar boyunca bu erişilemeyen bölgenin hep buzullarla kaplı olduğunu varsaydılar. Bununla birlikte, son zamanlardaki buzul erimeleri, Kuzey Kutbu deniz buz hacminin genel tahminlerini önemli ölçüde etkileyebilen bu varsayımı sorgulamaktadır. Kuzey kutbunda son iki yılın (2015 ve 2016) aralık ayında ortalamanın üzerinde (yaklaşık 10 derece kadar üzeri) sıcaklıklar görüldü. Bu dramatik değişiklikler, gözlenmemiş bölgelerin artık göz önünde bulundurulmasını zorunlu kılar.

Elimizde veri olmadığı bu gibi durumlarda uygulamalı matematikten faydalanarak tahminlerde bulunabiliriz. Gelin bu konuyu biraz daha detaylandıralım. Bir bölgedeki buzul konsantrasyonunu hesaplamak için, Strong ve Golden (2016) kısmi diferansiyel denklem tabanlı bir matematiksel model önermişlerdir:

Yeryüzünde Ω bölgesi içerisindeki bir noktayı θ boylamı ve ϕ enlemi ile tanımlayalım. Ω bölgesini veri eksikliğinin olduğu bölge olarak düşünebiliriz, örneğin Sekil 1’de en soldaki resimdeki kutuplarda görünen dairesel bölge. (θ,ϕ) noktasındaki buzul konsantrasyonunu skaler değerli f(θ,ϕ) fonksiyonu ile ifade edelim. Bu fonksiyonu ilk etapta küresel koordinatlarda tanımlı Laplace denkleminin

Δψ = 0       (1)

çözümü olarak düşünebiliriz:

f(θ,ϕ)  = ψ(θ,ϕ)

Laplace denkleminin sınır koşulları veri eksikliğinin bulunduğu bölgenin sınırından, ∂Ω, alınmış gözlemlerle ifade edilsin. (Ψ fonksiyonunun tek çözüm olabilmesi için ∂Ω sınırının yeteri kadar pürüzsüz ve buzul konsantrasyonunun ∂Ω sınırı boyunca sürekli bir fonksiyon olması gerekir.) Laplasyeni ikinci dereceden sonlu fark operatörü olarak ifade edersek denklem (1)’in çözümünü sayısal olarak elde edebiliriz. Elde edilen çözüm bizim kullandığımız matematiksel modele dayalı olup gerçeğin bir tahminidir. Bu yüzden her zaman gerçeği tam olarak yansıtan rakamlar elde edemeyebiliriz. Peki bu çözümü iyileştirmek mümkün mü? Diğer bir deyişle gerçek çözüme biraz daha yakınlaştırmak?

Evet, bunun için hatayı temsil edecek skaler değerli stokastik W(θ,ϕ) terimini matematiksel modelimize dahil edebiliriz:

f(θ,ϕ) =ψ(θ,ϕ) + W(θ,ϕ)

W(θ,ϕ) fonksiyonu, ψ(θ,ϕ) fonksiyonunun gerçek değerlerden sapmalarını belirler. Bu fonksiyonun parametlerini veri elde edebildiğimiz bölgelerden toplanan gözlemleri kullanarak bulabiliriz.

 

Sekil 2: Sarı bölgeler W stokastik teriminin parametlerini tahmin etmek için kullanılan gözlem bölgelerini göstermektedir. Mavi bölgeler ise farklı uyduların veri alamadığı bölgeleri göstermektedir. (Kaynak: Strong ve Golden 2016)

Mesela Sekil 2’de sarı ile gösterilen üç farklı dairesel bölgeden alınan gözlemlerimiz olsun. Gözlemlerin olduğu yerlerde hata terimi

W(θ,ϕ) = f’ (θ,ϕ) – ψ(θ,ϕ)

olarak ifade edilir. Burada f’ gözlem konsantrasyonlarının değerlerini verir. Elde edilen binlerce gözlemin analizine dayanarak, W için mevsimsel olarak değişen bir genlik formüle edilir ve gerçekçi mekansal otokorelasyon oluşturulur. Başka bir ifadeyle, bu gözlemler kullanılarak mekansal objelerin arasındaki ilişki uzaklığa ve zamana bağlı olarak belirlenir. Sonrasında bu mekansal otokorelasyon kutup bölgelerinde veri boşluğunun olduğu yerlerde kullanılır. Sonuç olarak Laplace denkleminden elde ettiğimiz çözümün hatasını ulaştığımız gözlemlerdeki bilgilere dayanarak en aza indirgeyebiliriz. Sekil 1’de bu yöntemle tahmin edilen buzul konsantrasyonlarını görebilirsiniz.

Matematiksel modellerin gözlem verileriyle birleştirilip tahminlerde bulunmak güncel uygulamalı matematik problemlerinde çok sık rastlanır. Bu konu ile ilgili “Veri Asimilasyonu ve Hayatımızdaki Yansımaları” başlıklı yazımıza göz atabilirsiniz.

Çeviri: Selime Gürol Senoner

Kaynaklar :

Strong, C., & Golden, K.M. (2016). Filling the polar data gap in sea ice concentration fields using partial differential equations. Remote Sensing, 8(6), 442-451.

Strong, C., & Golden, K.M. (2017). Filling the Sea Ice Data Gap with Harmonic Functions, SIAM News.

Matematiksel

 

Yazıyı Hazırlayan: Selime Gürol Senoner

Ankara Üniversitesi Matematik Bölümü’nden mezun olduktan sonra ODTU Uygulamalı Matematik Enstitüsü’nde yüksek lisans ve Fransa’da bulunan Institut National Polytechnique de Toulouse’da uygulamalı matematik alanında doktoramı yaptım. Doktora öncesi TUBITAK Uzay’da 4 yıl araştırmacı olarak çalıştım. Su anda ise matematikçi olarak Fransa’da bulunan CERFACS adındaki bir araştırma enstitüsünde çalışmaktayım. Eğitim sisteminden kaynaklı matematik denilince genelde aklımıza oldukça soyut olan ezberlenecek formüller gelir. Aslında matematiği hayata dair olan her şeyde görebiliriz. Sadece farklı gözlüklere ihtiyacımız var. Bu web sitesinde de bu gözlükleri sizlere sağlayabilmek, matematiğe olan merakı arttırmak ve en önemlisi araştırmacı ruhunu açığa çıkarabilmek dileğiyle...

Bunlara da Göz Atın

Saatin Matematiği

Saat bir sayma makinesinden başka nedir ki? Dakikaları, saniyeleri sürekli sayar durur. Hem de ona …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');