Kümeler Üzerine Üç Soru Bir Çözüm

Problem; matematik eğitiminde kullanılan en büyük araçlardan biri, olmazsa olmazlarındandır. Dolayısıyla problem çözme becerisi kazandırmak da bu eğitimin nihai amaçlarından bir tanesidir.

Malesef ki problem çözmenin kolay ve de sihirli bir yolu yoktur. Bu beceriyi kazanmak pek meşakkatli bir yolun neticesinde ancak elde edilebilir. Bu süreçte kesinlikle söylenebilecek ve işe yaradığı da vaki olan ilk şey problemi anlamak olmalıdır. Gayet net ve basit. Okul hayatı boyunca karşılaşılan problemlerin bir çoğunun basit olmasına rağmen yapılamayışının en büyük nedeni bu basamağın bilinçli ya da bilinçsiz es geçilmesidir.

Peki problemi anladığımızdan nasıl emin olabiliriz?

Bu şuna benziyor. Okuduğun herhangi bir metni ya da öğrendiğin herhangi bir konuyu kendi cümlelerinle ifade edebiliyorsan bu o konuyu ya da metni öğrendiğine dair bir belirtidir. Bu matematikte de işe yarar. Eğer sana sorulan problemi kendi cümlelerinle ifade edebiliyorsan ya da bildiğin başka bir problemle benzerliğini yakalayabiliyorsan bu problemi anlamışsın demektir.

&

A={a,b} ve B={a,b,c,d,e} kümeleri veriliyor. Buna göre aşağıda verilen soruları cevaplayınız.

  1. A K B şartını sağlayan kaç farklı K kümesi yazılabilir?
  2. B’nin alt kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar?
  3. B kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a ve b elemanları bulunur?

Üç soru gibi gözüken aslında tek soru olan bu problem, lise 1 kümeler öğrenme alanının alt küme alt başlığında anlatılan konunun örneğidir. Bu üç soru aslında bir problemin üç farklı şekilde ifade edilişidir. Özü itibariyle aynıdır.
Birinci soruya bakalım: Dikkat edilirse öyle bir K kümesi vardır ki, A kümesi, K’nın alt kümesi olmalı ve aynı zamanda bu K kümesi de B’nin alt kümesi olmalı. Buna göre kaç farklı K kümesi yazılabilir? İkinci soru ise sözel olarak gayet açık. A kümesini kapsayacak ve de B’nin alt kümesi olacak olan kümelerin kaç tane olacağını soruyor. Üçüncü soru da ise bizden B’nin alt kümelerinin kaç tanesinde a ve b elemanlarının olduğudur.

Bu üç soruyu tek bir soru altında özetlersek; A kümesini kapsayacak yani a ve b elemanlarını içerecek ve B nin de alt kümesi olacak kaç tane küme yazılabilir?

Aşağıda Venn şeması yöntemi ile olabilecek muhtemel durumlar gösterilmiştir. Tabi her soru çözümünde böyle bir yöntem izlenmez. Ama problemi anlama noktasında bize önemli ipuçları vereceğinden dolayı böyle bir yönteme başvurulmuştur.

  • İlk durumda K kümesine dışarıdan eleman eklenmiyor.  K=A { } ={a,b}
  • İkinci durumda K kümesine dışarıdan sadece c elemanı ekleniyor.  K=A {c} ={a,b,c}          
  • Üçüncü durumda K kümesine dışarıdan sadece d elemanı ekleniyor. K=A {d} ={a,b,d}
  • Dördüncü durumda K kümesine dışarıdan sadece e elemanı ekleniyor. K=A {e} ={a,b,e}
  • Beşinci durumda K kümesine dışarıdan c ve d elemanları ekleniyor. K=A {c,d} ={a,b,c,d}
  • Altıncı durumda K kümesine dışarıdan c ve e elemanları ekleniyor. K=A {c,e} ={a,b,c,e}
  • Yedinci durumda K kümesine dışarıdan d ve e elemanları ekleniyor.  K=A {d,e} ={a,b,d,e}
  • Sekizinci durumda K kümesine dışarıdan c, d ve e elemanları ekleniyor. K=A {c,d,e} ={a,b,c,d,e}

Aşağıdaki tabloda yapılan işlemler gösterilmiştir:

Yukarıdaki tabloya bakıldığında A kümesine eklenen elemanların oluşturduğu kümeler {c,d,e} kümesinin alt kümeleridir. Buradan hareketle {c,d,e} kümesinden ne kadar alt küme oluşturursam bir o kadar da verilen şartı sağlayan K kümeleri oluşturabilirim. Çünkü tek yapılan bu alt kümelere {a,b} kümesini yani A kümesini birleştirmek oldu.

Şimdi tabloyu bir de böyle inceleyelim:

Yapılan işlem, K da kesinlikle olması gereken a ve b elemanları dışında kalan tüm elemanların {c,d,e} oluşturduğu alt kümelere a ve b elemanlarını eklemek oldu. Böylece {c,d,e} nin alt kümeleri kadar K kümesi yazabildik.

Soru:

A={a,b,c,d,e}

A B={a,b,c}

B C={a,b,c,d,e,f,g}

verilenlere göre kaç farklı B kümesi yazılabilir? Soruyu irdeleyelim. B kümesinde kesinlikle a,b ve c elemanları olmalı, yine kesinlikle d ve e elemanları olmamalıdır.

B={a,b,c} kümesi dışında başka B kümeleri yazılabilir mi? Ya da soruya şöyle yaklaşsak,  B C={a,b,c,d,e,f,g} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a, b ve c elemanları bulunur, d ve e elemanları bulunmaz?

a,b,c,d ve e elemanları dışında kalan f ve g elemanlarından oluşan {f,g} kümesinin alt kümelerini yazalım ve bunlara a, b ve c elemanlarını ekleyelim:

Sonuç: Bu yazımızda bahsettiğimiz şekliyle; belli şarta bağlı alt kümeler oluştururken, kesinlikle olması gereken ve de olmaması gereken elemanlar belirlenir ve bunlar dışında kalan elemanlarla oluşturulacak kümelere içinde kesinlikle bulunması gereken elemanlar eklenir.

Aykut ÇELİKEL

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB’de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid’in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)’ı tartışma zemininde okumak.

Bunlara da Göz Atın

Martin Gardner’in En İyi Matematiksel Bulmacalarını Çözebilir Misiniz?

“Bulmacalar sizi matematiğin hemen hemen her dalına götürebilir.” – Martin Gardner Martin Gardner bir gazeteci, …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');