Köprüde Gelen İlham: Kuaterniyonlar

Matematikte keşifler nasıl yapılır? Bazen masa başında çalışırken, çoğu zaman ise alakasız bir etkinlik ile meşgulken. Yürüyüş yaparken, yemek pişirirken veya yarı uyanık uyumak üzereyken. Her durumda ise bu keşiften önce uzun süreli ve yoğun bir çalışma süreci vardır. 

İçimizde bir çoğumuz lise yıllarında karmaşık sayıları görmüştür. Bu konu bize ilk başta değişik gelse de zamanla alıştık ve meseleyi idrak ettik. Peki gerçek kısım ve sanal kısımdan oluşan iki boyutlu karmaşık sayılar üç boyutlu olabilir mi?

İşte İrlandalı Matematikçi Sir William Hamilton, karmaşık sayıları üç boyutlu uzaya genişletmeyi umuyordu.  Hamilton, karmaşık sayıların düzlemde bir nokta göstermesine karşılık uzay için benzer bir yol arıyordu.

William Hamilton

Kuaterniyonları buluncaya kadar, uzayda noktalar sayı üçlüleri olarak gösteriliyor, bu üçlüler toplanabiliyor, çıkarılabiliyor fakat çarpıp bölünemiyordu.

16 Ekim 1843’de Sir William Rowan Hamilton burada yürürken dahice parlak bir fikirle kuaterniyon çarpımı için temel olan formül keşfedildi. Bu köprünün bir taşı üzerinden kesit.

Hamilton, kompleks sayıların çarpımına benzer bir çarpmayı sayı üçlülerine uygulamaya çalışıyordu. “Üçlüler Teorisi” olarak adlandırdığı üç boyut için benzer bir sistem geliştirmeye niyetli Hamilton, 16 Ekim 1843 Pazartesi günü, Kraliyet Ailesi’nin bir Konsey toplantısına başkanlık yapmak için Kraliyet Kanalı boyunca eşiyle birlikte yürürken aklına bir fikir geldi, o esnada tam da Brougham Köprüsü’nün üzerindeydi, kalemini çıkardı ve oradaki taşa temel formülü çizdi:

koprude-gelen-ilham-kuaterniyonlar

Bugün bunun hiçbir izi bulunamadı, ancak 1958’de keşfi hatırlatan ve formülü gösteren bir hatıra plaketi kuruldu.

Hamilton’un kuaterniyonları keşfettiği Brougham Köprüsü’ndeki plak.

Dünyanın dört bir yanından insanlar bu köprüyü “Hamilton Köprüsü” olarak anmaya başladı.

Sir William Hamilton’ın Akademiye birkaç hafta sonra Kasım 1843’te sunduğu teoride, kuaterniyon terimi, belirli bir dörtlü ifadeyi adlandırmak için kullanıldı.

Bir kuaterniyon q ile gösterilmek üzere şeklinde yazılabilir. Burada; “d” reel kısım, “ ” üçlüsü de vektörel (kuaterniyonun hayali)  kısımdır. Reel parçanın karesi her zaman pozitiftir, ancak ikinci bölümün karesi her zaman negatif bir niceliktir.

Kısaca Hamilton,  şeklinde verilen kompleks sayıları

 biçiminde genelleştirmiştir.

(Burada a, b, c ve d gerçek sayılardır ve i, j ve k, x, y ve z eksenleri boyunca birim vektörlerdir.)

Her bir kuaterniyona   {}gibi dört birim eşlik etmektedir. Peki Hamilton’un kuaterniyonları bulması ne gibi katkı sağlamıştır?

Biz biliyoruz ki Öklid uzayında vektörü vektöre bölemeyiz. Aslında kuaterniyonların çıkış noktası da budur. Hamilton kuaterniyonları tanımlayarak iki vektör için bölme işleminin de mümkün olabileceğini göstermiştir. Karmaşık sayılar 2-boyutlu koordinat sistemindeki noktalar olarak düşünülebiliyorsa, kuaterniyonlarda 4-boyutlu koordinat sistemindeki noktalar olarak düşünülmeye başlanmıştır bu buluştan sonra.

Hamilton’un 173 sene önce bugün yaptığı keşifin etkilerini fizikten bilgisayar grafiklerine kadar birçok alanda bulmak mümkün.

Ceyda Cevahir

KAYNAKLAR:

http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/46/HOMSIGMAA/McLaughlin-Hamilton.pdf

http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/history/Biographies/Hamilton.html

Matematiksel

 

 

Yazıyı Hazırlayan: Ceyda Cevahir

Matematik ile kafayı bozmuş, Rizeli bir baba ve Ordulu bir annenin hırçın karedeniz kızı. İstanbul’da başlayan yaşam mücadelem Kastamonu Göl Anadolu Öğretmen Lisesi, Karadeniz Teknik Üniversitesi Matematik Öğretmenliği, yüksek lisans ve doktoram Ordu Üniversitesi ve Ondokuz Mayıs Üniversitesi Geometri anabilim dalı diye gidiyor. Eğitim hayatım bunlardan ibaret. Anlayacağınız göçebe bir yaşam tarzım var.
Aslında gezmeyi de seviyorum. Tam bir doğa aşığı ve hayvanseverim.
Bilim ile uğraşmayı, yeni bir şeyler öğrenmeyi seven meraklı biriyim hele ki konu matematikse… Bu yolda öğrendiklerimi sizlerle paylaşacağım. Umarım keyifle okursunuz.

Matematik ile kalın, hoşça kalın. :)

Bunlara da Göz Atın

Matematiksel Eşitliklerde Güzellik – Çirkinlik Algısı

Beyin taramalarının gösterdiğine bakılırsa matematiksel formüllerdeki karmaşık sayı ve harf dizileri beynimizde sanatsal bir başyapıtın …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');