Kök 2’nin İrrasyonelliğine Geometrik Bir Bakış

“Herhangi bir çemberin, çevresinin çapına oranı sabittir” cümlesindeki güç “Herhangi bir karenin, kenarıyla köşegeni rasyonel orantılı değildir” cümlesindeki  güçten çok da ileri değildir. İkisi de bizlere yeni dünyaların kapılarını aralamıştır.

Entelektüel bir disiplin olan matematiğe dair atfedilen önemi anlamak için Platon’un şu sözüne işaret etmekte fayda var.

“Bir karenin kenarlarıyla köşegenlerinin rasyonel orantılı olmadığı gerçeğinden habersiz olan, (aydın) insan sıfatına layık değildir.”

O dönemde matematiğe biçilen rolün ne kadar kıymetli olduğu fikrini bizlere sunan bu söz gerçekten söylenmiş midir bilemiyorum ama akademisine “Geometri bilmeyen giremez!” yazan birisinin lafız olarak bu şekliyle olmasa bile anlam olarak buna benzer söz söylemiş olması kuvvetle muhtemeldir.

Kast edileni anlamak adına herhangi bir karenin kenarıyla köşegeni arasında nasıl bir ilişki var, ona bakalım. Bir kenarı 1 birim olan karenin köşegeni kök 2 birimdir. Tabi kök 2 bir anda ortaya çıkan bir şey değildir. Hele ki günümüzde kullandığımız şekliyle hiç değil.

İlk başta yunanlılar sadece şunu görmüş olmalılar: Kenar uzunluğu bir birim olan karenin köşegeni şimdiye kadar bilinen ve de kullanılan bir sayı (mesafe) değildir. Yani ne doğal, ne tam ne de rasyonel orantılı bir çokluk.

Bu sayı elimizdeki gibi bir sayı olsun (başlamak için bundan daha güzel bir cümle olamazdı!) diye başladıkları ispatın sonunda çelişki elde ediyorlardı. Bu yeni ve de onlara göre akıldışı olan şey hiç eldekilere benzemiyordu. Dolayısıyla da bu sayı kümelerinden apayrı bir sayı kümesini istemeye istemeye de olsa ortaya çıkarmış bulunuyorlardı.

&

Şimdi bu akıldışı sayının öncekilere niye benzemediğinin ispatına bakalım. Yalnız çokça gördüğümüz ve de aşina olduğumuz cebirsel değil de geometrik bir ispat yapalım bu sefer de. (ispat tübitak yayınlarından çıkan Arkadaşlığın Matematiği adlı kitaptan alınmış ve kitaptaki cümlelere birebir bağlı kalınmamıştır. Bu ispatla beni buluşturan öğrencime de çabası ve de ilgisi için ayrıca teşekkürler.)

&

m ve n pozitif tam sayılar olmak üzere          olduğunu varsayalım.

Bunun ne anlama geldiğini yorumlayalım şimdi de. 

Öncelikle aşağıdaki gibi bir dik üçgen çizersek işimiz anlama noktasında biraz daha kolaylaşacak.

 

Şekle bakarsak dik kenarlar n tane birim uzunluktan, hipotenüsün de m tane birim uzunluktan oluştuğunu görürüz. Birim uzunluğu t olarak varsayarsak BC ve AC kenarları t nin tam katı olmalıdırlar.

Artık ispata başlayabiliriz:

 

1- BC kenarını AC üzerine denk gelecek şekilde katladığımızı düşünelim. Bu durumda B köşesi D ye denk gelir. EBC üçgeni ile EDC üçgenleri de eş üçgenler olurlar.

2- Eş üçgenleri ve ikizkenar dik üçgenin 45lik açısını beraber düşünerek şu eşitlikleri yazabiliriz:   ve  

3- AC ve BC kenarları (birim uzunluğu t olarak ifade etmiştik) t’nin tam katlarıdır. O zaman farkları olan AD kenarı da t’nin bir tam katı olmalıdır. (|AD|=|AC|-|DC|=|AC|-|BC|)

4- ADE üçgeni de ikizkenar üçgendir. Bunun hipotenüsü için de aynı şeyler söylenebilir.

5- AE kenarı AB ve AD nin farkına eşittir. AB ve AD t’nin tam katları olduğundan farkları da t’nin tam katı olur.  Buradan AE nin de t’nin tam katı olduğu sonucu ortaya çıkar. (|AE|=|AB|-|EB|=|AB|-|AD)

6- Kenarları ve hipotenüsü t’nin tam katı olan bir ikizkenar dik üçgenin içinde bir tane daha kenarları ve hipotenüsü t’nin tam katı olan bir ikizkenar dik üçgen elde ettik. Aynı şeyi sürekli devam ettirdiğimizde daha küçük ikizkenar dik üçgenler elde edebiliriz.

7- Bunu devam ettirdiğimizde birim uzunluğumuz olan t’nin uzunluğundan daha küçük uzunluğu olan bir hipotenüs de elde edebiliriz. Peki bu durumda ne olur?

8- t’nin hiç bir tam katı (0 hariç) t’den küçük olamaz. Halbuki hipotenüs uzunluğunun t’nin bir tam katı olduğunu söylüyorduk sürekli. Bu nedenle burada bir çelişki ortaya çıkar. Demek ki böyle bir t’den bahsedemeyiz. Dolayısıyla da hipotenüs ve kenarlar karşılaştırılamazlar yani rasyonel orantılı olamazlar.

Aykut ÇELİKEL

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB’de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid’in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)’ı tartışma zemininde okumak.

Bunlara da Göz Atın

Matematiksel Eşitliklerde Güzellik – Çirkinlik Algısı

Beyin taramalarının gösterdiğine bakılırsa matematiksel formüllerdeki karmaşık sayı ve harf dizileri beynimizde sanatsal bir başyapıtın …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');