Kaos/1 – Kelebek Etkisi

Nedir bu “Kelebek Etkisi” diye hiç düşündünüz mü? Ve neden “Kelebek”?

Kelebek güzel, narin bir canlıdır; bazen yakınlarıma konduğunda ona odaklanır, seyre dalarım belki ama kaos teorisinde adının sıkça anılmasının hatta “Kaos Teorisi” yerine birçoğumuzun “Kelebek Etkisi” geçerli bir sebebi var.

Kaotik sistemlerde değişkenlerin alabileceği değerlerin 3 boyutlu uzayda gösterilmesiyle ortaya çıkan o etkileyici şekil…

Birçok bilim insanının türlü anlamlar yüklediği, o birbirini hiç tekrar etmeyen ama değişkenlerin tüm değerlerinin de onun sınırlarında salındığı o büyülü şekil… Tıpkı kelebek kanatlarına benzemektedir…

James Gleick’in bir solukta okuduğum “Kaos” adlı kitabını şiddetle tavsiye ederim. Aşağıdakiler kitaptan derlediğim küçük bir kısımdır:

“Yükselen sigara dumanı parçalanarak delişmen sarmallar oluşturuyor. Bayrak rüzgarda dalgalanarak bir o yana bir bu yana uçuşuyor. Musluktan tek düze damlayan su, rastgele bir ritm tutturuyor. Kaosu hava durumunda, uçakların uçuş sırasındaki davranışlarında, otoyolda kümeleşen arabaların davranışlarında, yer altındaki borularda akan petrolün davranışında gözlemliyoruz. Ortam ne olursa olsun, davranış yeni keşfedilen bu yasalara uyuyor. Bunun farkına varmamız iş dünyasındaki yöneticilerin sigorta konusunda karar süreçlerini, astronomların güneş sistemine bakış tarzını, siyasi kuramcıların gerilimlerin silahlı çatışmaya dönüşmesine ilişkin söylemlerini değiştirmeye başladı. Kaosa inananlar belirlenimcilik ve özgür irade, evrim, bilinçli zekanın doğası konularına kafa yoruyorlar. Bilim dünyasında sistemleri, bileşenlerini oluşturan kuarklar, kromozomlar ya da nöronlar temelinde analiz etmeye yönelen indirgemecilik doğrultusundaki bir eğilimi tersine çevirdiklerini düşünüyorlar. Bütünü aradıklarına inanıyorlar.

Bu yeni bilimin en tutkulu taraftarları daha da ileri giderek, 20. yy biliminin yalnızca üç şeyle hatırlanacağını söylüyorlar: görelilik, kuantum mekaniği ve kaos.

Görelilik kuramı Newtoncu mutlak uzay ve zaman kavramlarını yerle bir etti; kuantum kuramı kontrol altında tutulabilen ölçüm süreci hayalini gömdü; şimdi de Kaos kuramı Laplace’ın belirlenimci öngörülebilirlik fantezisini yok ediyor.

Artık en basit sistemlerin öngörülebilirlik açısından son derece zor sorunlar yarattığı fark ediliyor. Buna rağmen bu sistemlerde düzen kendiliğinden doğuyor: Kaos ve düzen iç içe. Tek bir şeyin -bir su molekülü, bir kalp dokusu hücresi, bir nöron- yaptıklarına ilişkin bilgiyle bunların milyonlarcasının yaptıklarına ilişkin bilgi arasındaki büyük uçurumun aşılmaya başlanması da olsa olsa yeni türde bir bilimle mümkün olabilecek”

Beş kişilik bir topluluk içinde bile gruplaşmalar ortaya çıkabiliyorsa; dinler, milletler, bayraklar vs. altında farklı topluluklar oluşturarak büyük resim altında bile gruplaşıyor olmamıza çok şaşmamalı. Bir insanın yaptığı ve milyonlarcasının yaptığı arasında her zaman bir uçurum yoktur, bu örnekte olduğu gibi büyük benzerlikler de vardır. Karmaşık sorunların altında karmaşık nedenler aramak gibi geleneksel yaklaşımlardan kurtulmak kaos kuramını anlayarak mümkün olacaktır.

“Girdideki ufak farklar çıktıda kolayca muazzam farklılıklara yol açabiliyordu: buna ‘başlangıç koşullarına hassas bağlılık‘ adı verildi.

En yakın dostlarına göre Lorenz zamanının büyük bir bölümünü sanki uzayın derinliklerinde dolanarak geçiriyordu. Bir meteoroloji araştırmacısı için bu hiç de gerekli değildi, ama Lorenz hava durumunu incelemekten çok hoşlanıyordu. Değişkenliğin tadına varmıştı. Atmosferde ortaya çıkıp yok olan örüntüleri, daima matematik kurallara uyan ama hiç kendini tekrar etmeyen girdap ve siklon ailelerini hakkını vererek zevkle izliyordu.

Newton’ın bayrağının ardında ilerleyen bilim insanları aslında üzerinde sanki şöyle bir şey yazılı bir flama sallıyorlardı: Sistemin başlangıç koşulları hakkında yaklaşık bir bilginiz varsa ve doğa yasalarını anlıyorsanız, sistemin davranışını yaklaşık ölçüde hesaplayabilirsiniz.

Bilim felsefesinin temel varsayımlarından biriydi bu. Bir kuramcının öğrencilerine söylemekten hoşlandığı gibi, ‘Batı biliminin temelinde yatan fikir, dünyada bir bilardo masasındaki topun hareketlerini hesaplamaya çalışırken, bir başka galaksideki bir gezegende düşen bir yaprağı göz önünde bulundurmanız gerekmez. Çok küçük etkiler ihmal edilebilir. Olayların seyri sonuç olarak birbirine yaklaşır ve keyfi küçüklükteki etkiler keyfi büyüklükteki sonuçlara yol açmaz.’

Fakat bu, başlangıç koşullarına hassas bağlı sistemlerde pek de bu şekilde değildi; Lorenz’in denklemler sisteminde küçük hataların katastrofik sonuçlara yol açtığı kanıtlanıyordu.

20160116_153044-1.jpg

Elliler ve altmışlarda oldukça iyimser bir şekilde; hava durumu tahminlerinin de ötesinde hava durumunun değiştirilebileceği ve denetim altında tutulabileceğine inanılıyordu. Uçaklar bulutları tohumlayacaktı. Bilim insanları yağmur yapmayı ve yağmurları durdurmayı başaracaklardı. Bu yaygın beklentinin fikir babası, ilk bilgisayarını başka şeyler dışında havayı denetim altına almak amacıyla kurgulayan Von Neumann’dı. Karmaşık bir dinamik sistemde dengesizlik noktaları olacağının farkındaydı: bunlar tıpkı bir tepede dengede duran bir top gibi hafifçe itilince büyük sonuçlar doğuran kritik noktalardı. Von Neumann kaos olasılığını, her noktada dengesizlik ortaya çıkabileceğini gözden kaçırmıştı.

Lorenz Kelebek Etkisini ortaya koymakla yetinse, tahminleri bütünüyle rastlantılara bağlı bir öngörülemezliğe kapı açsa, felaket tellalcılığından öteye geçmemiş olurdu. Ama o kendi hava durumu modelinde rastgeleliğin ötesinde bir şeyler yattığını görüyordu. Düzenin rastgeleliğin ardına saklandığı ince bir geometrik yapı ayırt etmeye başlamıştı.

Navier-Stokes denklemi gibi doğrusal olmayan bir denklemin davranışını analiz etmek, atılan her adımda duvarları yeniden düzenlenen bir labirentte yürümeye benzer. Von Neumann’ın kendisinin de dediği gibi: ‘Denklemin özellikleri eş zamanlı olarak değişir. Bu hem düzen hem de derece açısından bir değişimdir. Dolayısıyla kötü bazı matematiksel güçlüklerle karşılaşmaya hazır olmak gerekir.’

Bir fincan kahvenin hangi hızla soğuyacağını nasıl hesaplayabilirdik? Kahve ılıksa, ısısı hidrodinamik harekete gerek kalmaksızın kolayca yitirilecek ve kahve kararlı durumda kalacaktı. Ama kahve yeterince sıcaksa, konvektif devinimle fincanın altındaki sıcak kahve daha serin olan yüzeye tırmanacaktı. Fincana birkaç damla krema eklendiğinde kahvedeki konveksiyon açıkça görülebiliyordu. Karmaşık sarmallar oluşabiliyordu. Ama uzun dönemde bu türden bir sistemin kaderi belliydi. Isı yitirildiği ve akışkandaki akış sürtünmeyle yavaşladığı için, hareketin sona ermesi kaçınılmazdı.

Lorenz bir toplantıda bilim insanlarına muzip tavrıyla şöyle diyecekti: ‘Kahvenin bir dakika sonraki sıcaklığını tahmin etmekte zorlanabiliriz, ama bir saat sonraki sıcaklığını tahmin etme konusunda pek güçlük çekmeyiz.’ Kahvenin sıcaklığı oda sıcaklığını, sıvıdaki hareket hızı da sıfırı hedeflemek zorundaydı.

Lorenz denklemlerinde tanımlananlara benzeyen bir başka sistem de bir su çarkıdır. Çarkın kenarına asılı kovalara yukarıdan su damlar. Her kovanın dibindeki küçük bir delikten de su sızar. Su akışı yavaşsa, üstteki kovaların doluş hızı hiçbir zaman sürtünmenin üstesinden gelmeye yetmez, buna karşılık akış hızlanınca kovanın ağırlığı çarkın dönmeye başlamasına neden olur. Bu dönüş sürekli hale gelebilir. Ya da akış çok hızlanır ve ağır kovalar aşağıdan dolanıp öteki taraftan yeniden tırmanmaya başlarsa, çark yavaşlayabilir ve dönüş yönü tersine çevrilebilir; bu durumda çark bir o yana bir bu yana dönmeye başlayacaktır.

20160116_165931-1.jpg

Böyle basit bir mekanik sistem konusuna fizikçilerin yaklaşımı -kaos öncesi sezgileri- ona su akışı hiç değişmezse uzun dönemde kararlı duruma ulaşılacağını söyleyecektir. Çark ya kararlı bir şekilde dönecek ya da kararlı bir şekilde bir o yana bir bu yana gidip gelecek, sabit aralıklarla önce bir yönde sonra öteki yönde dönecektir. Lorenz bunun böyle olmadıığını gösterdi. Sistem hiçbir zaman kendini tekrar etmiyor, izlenen rota hiçbir zaman kendi kendisiyle kesişmiyordu.

20160116_171301-1.jpg

Yıllar sonra fizikçiler Lorenz’in bu denklemlerle ilgili makalesinden özlemle ‘o olağanüstü güzel makale’ diye söz edeceklerdi.”

Bu yazı serisine başlarken bende bıraktığı etkiyi sizde de bırakacağına inandığım; kaotik sistemlerdeki değişkenlerin 3 boyutlu uzayda nasıl salındığını (denklemdeki değişkenlerin x,y,z eksenlerinde aldığı değerlerin birleştirilmesi) gösteren ve kelebek kanatlarının nasıl ortaya çıktığını daha net görmenizi sağlayacak aşağıdaki videoyu izlemenizi öneririm.

 

Kaynak: Kaos, James Gleick, Alfa Yayınları, 1. Basım, Ekim 2014

Düzenleyen: Mustafa Saltık

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Ansel Adams’ın Fotoğraflarındaki Altın Oran

Ansel Adams, 20. yüzyılın en iyi fotoğrafçılarından birisi olarak kabul edilmekte günümüzde. Bunun nedenini fotoğrafçı …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir