Kafa Karıştıran Sonsuz Seriler ve Basel Problemi

Yıllardan beri seriler heyecan verici kavramlardı. Sonsuza giden şeylerin toplamları oldukça şaşırtıcı sonuçlar çıkardığı gibi bazen beynimizin hata vermesine bile yol açabiliyordu. Önemli matematikçilerin ellerinden geçmiş ” Basel Problemi” de bu ilginç toplamlardan bir tanesidir.

Biraz açıklamak gerekirse…

Şöyle bir örnek alalım.

Yukarıdaki bu toplam ne böyle diyebilirsiniz elbette? Ancak biraz matematik ile haşır neşir olanlar neden bahsettiğimizi anlayacaklardır. Şimdi toplananların paydalarına biraz daha yakından bakar mısınız?

Doğal sayıların kareleri ile elde edilmiş ve matematikçilerin “Tam Kare” olarak ifade ettiği sayılar dizisi biçiminde yazılmış. Bu nedenle toplamın nasıl devam edeceğini görmek çok kolaydır.

Bu aynı zamanda toplamın içerisinde sonsuz sayıda terim olduğu anlamına gelir ve genelde sonsuz sayıda terimin toplamının da sonsuz olacağı tahmin edilir. Fakat sonsuz bir toplamın belirli bir değere yakınsaması mümkündür.

Matematikte seriler ile ilgili olarak eğer sonucunuzun değeri sonsuza gidiyorsa ıraksak, sonsuz dışında herhangi bir değere gidiyorsa yakınsak olduğunu söylemekteyiz. Dolayısıyla her sonsuz sayıda terim içeren serinin ıraksak olduğunu söylemek çok yanlış olacaktır. Herhangi bir keyfi değer almanızda bunun nasıl yakınsadığını görebilirsiniz.

Basel Problemi daha çok Euler’in kendisi ile özdeşleşmiş olsa en azından bu problemin 1644 yılından beri var olduğunu biliyoruz ve birkaç iyi matematikçi de bunun üstünde hayatının yarısından çoğunu harcadı.

Leibniz

8 üyeden oluşan matematikçi Bernoulli ailesi vardır, Leonhard Euler’in öğretmeni olan Jacob Bernoulli de bu ailenin üyelerinden birisiydi. Yıllarca bu problemin çözümüne uğraşmış fakat bir türlü kesin cevabı bulamamıştır. Problemin çözüm bulamaması Leibniz’ı harekete geçirdi ve soru üzerinde çok küçük bir hata ile cevaba yaklaşanlardan biri oldu ama oda cevabı bulunamadı. Bu şekilde artan ilgi soruyu o dönemde tüm matematikçilerin gözdesi haline getirdi. Euler ve ekibi o dönemler İsviçre’nin Basel kentinde araştırma yaptıklarından dolayı soru bu şekilde matematik dünyasında telaffuz edilmeye başlandı. Yıllarca cevabı doğru olarak çözebilmek için yukarıdaki seriye sayısızca terimler eklendi ve sonucun daha hassas bir yakınsama değeri hesaplanmaya çalışıldı.

Bununla birlikte, Basel toplamıyla ilgili bir sorun vardı. İlk 1000 terim ekleme  yalnızca ilk iki ondalık basamakta doğru sonuç vermiş ancak üçüncü sırada bulunan basamakta farklı sonuçları ortaya koymuştu. Bu nedenle, iyi tahminlerde bazı matematik hileleri gerekiyordu. Euler bir mektubunda, “Toplamda çok fazla çalışma yapılmış ve yeni bir şey ortaya çıkma olasılığı pek yüksek görünmüyor. Ben de, tekrarlanan çabalara rağmen, yaklaşık değerlerden başka bir şey yapamam …” diye yazdı.

Ancak Euler 1735 yılında başarılı oldu. Gerçekten inanılmaz bir başarıydı, hiç kimse sonucun böyle bir sayı olacağını bilmiyordu. Yukarıda bahsettiğimiz matematikçilerin hiçbiri pi sayısı ile ilgili bir sonuç bulmamıştı. Dolayısıyla yapılan tüm çalışmalar hatalıydı.

Euler’ı bu sonuca götüren matematiği burada sunmak biraz zor, ancak yinede merak ederseniz buradan gerekli çözümü inceleyebilirsiniz.

Serinin toplamının sonucuna bakar mısınız? Sihir gibi!

Kaynak: https://plus.maths.org/content/basel-problem

Matematiksel

 

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Napier’in Kemiklerinden Logaritmaya Bir Yolculuk

Lise yıllarında öğrendiğimiz logaritma bir çoğumuz için ezberlenecek bir dizi formülden öteye geçmez, oysa ki …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');