Kaderin Matematiği

Yaşamımız boyunca bizler de Galton Kutusundakine benzer turnikelerden geçmek zorunda kalırız. Varoluşumuzu belirleyen koşullar çoğu zaman anlamsız tesadüflerin eseridir.kaderin_matematigi

Aşağıdaki videoda istatistik yasalarına göre çalışan bir düzenek olan Galton Kutusu‘nu görüyorsunuz. Yukarıdan serbest bırakılan toplar turnikelerden geçerek aşağıdaki bölmelerin içine düşerler. Her turnikeden geçişte sağ ya da sol olmak üzere topun seçebileceği iki yol vardır.


Matematik yasaları gereği topların çoğu merkezde, az bir kısmı ise kıyılarda toplanacaktır. Merkezden kenara gidildikçe bölmelere giren topların sayısı azalır. Bunun basit bir nedeni vardır. Merkeze giden yolların sayısı, kıyılara giden yolların sayısından çok daha fazladır. Bu nedenle, topların merkezde toplanması kaçınılmaz olur. Merkezi Limit Teoremi olarak bilinen ve doğanın en temel kurallarından biri olan dağılım yasasının özeti budur.

Merkezi Limit Teoreminin bir sonucu olarak bölmelerdeki topların dağılımı çana benzer bir şekil oluşturur. Zaten şeklinden dolayı bu eğriye Çan Eğrisi denir. Ortası yüksek, kenarları basık bir eğridir ve Normal Dağılım Yasasını özetler. Normal dağılmış herhangi bir niceliğin dağılımının grafiğini çizerseniz, karşınıza çan eğrisine benzer bir şekil çıkar. Toplumda boy uzunluğu, ağırlık, eğitim düzeyi gibi bir çok niteliğin dağılımında bu eğriyle karşılaşırız. Çan eğrisi yığınların kaderinin bir nevi özeti gibidir. Dağılım yasası üzerinde biraz derin düşünürsek neden beş parmağın beşinin bir olmadığını, neden tekil başlangıçlardan bunca çeşitlilik türediğini anlamamız kolaylaşır.

Yaşamımız boyunca bizler de Galton Kutusundakine benzer turnikelerden geçmek zorunda kalırız. Varoluşumuzu belirleyen koşullar çoğu zaman anlamsız tesadüflerin eseridir.

Galton Kutusu’nda topların çoğu merkezde toplanırken, az bir kısmı kenarlarda toplanır demiştik. Aşağıdaki animasyondan da anlaşıldığı üzere her hücreye giren yolların sayısı, üstündeki iki hücreye giren yolların sayısının toplamı kadardır.

Aşağıdaki beş bölmeli Galton kutusunda basit bir hesapla topların %6,5’u A bölmesine girerken, %37,5’u  merkezdeki C bölmesinde toplanır.

 

Çan eğrisinin oluşması için turnikelerin sayısını arttırmak gerekiyor. Aşağıdaki tabloyu beş satırlı Galton Kutusu için Excel’de yaptım.

Turnike sayısını arttırarak çan eğrisine daha da yaklaşan eğriler elde edebiliriz. On satırlı Galton kutusu için:

Galton Kutusu’nu hayatımıza uyarlarsak, uçlarda yer alan marjinal bireylerin kaderini anlayabiliriz. Marjinaller çan eğrisinin her iki yanında simetrik olarak dağılmışlardır. Örneğin çok kısalar ve çok uzunların sayısı aşağı yukarı birbirine eşittir. Marjinallik, şanslı bir azınlık ile talihsiz bir alt tabakanın payına düşendir. Doğada marjinallikten kaçınılamaz. Merkezde yer alan ve kendilerini “normal” olarak adlandıran sıradan insanlardan oluşan çoğunluğa göre, sürü dışındaki marjinallerin yaşamı çoğu zaman güçlüklerle doludur. Bu bireyler sürünün ortasındaki bireylerin rahatlığına hiç bir zaman erişemezler. Sürünün ortasındakiler de bulundukları konumun rahatlığı içinde, diğerlerinin acılarına karşı duyarsız kalarak bencilleşirler. Üstelik kendi bulundukları bölmenin en iyisi olduğuna inanır, kendilerini diğerlerinden üstün görürler. Oysa onları o bölmeye götüren basit olasılık yasalarından başka bir şey değildir.

Galton Kutusunu ilk defa yapan kişi Darwin‘in kuzeni olan Sir Francis Galton adlı bir İngilizdir. Amatör bir matematikçi olan Galton, bilimin bir çok alanına çeşitli katkılarda bulunmuştur.

Galton Kutusu, İstatistik yasalarını, merkezi limit teoremini, şans yasasını, çan eğrisini kavratmak amacıyla icad edilmiştir.  Galton, Gauss ve başka matematikçiler tarafından geliştirilen istatistik yöntemlerini ilk defa insanlar arasındaki çeşitliliği incelemek amacıyla kullanmış kişidir. Zekânın kalıtsallığını istatistik yöntemlerle incelemiş, parmak izlerinin her bireyde farklı olduğunu bulmuştur. Daha bir çok çalışması vardır. Ancak Galton çağının ön yargılarından kurtulamamış, o dönemde yaşayan hemen hemen herkes gibi, ırkçılıktan nasibini almış, zencileri bir çeşit hayvan olarak görmüştür. Soy düzeltme diye çevirebileceğimiz Öjenik denen sahte bilimi kurmuş; Amerika ve Avrupa’da, engellilerin ve suçluların üremesinin önlenmesi amacıyla devlete kısırlaştırma yetkisi veren ve bazı ülkelerde 1950’lere kadar yürürlükte kalan ve üstelik uygulanan öjenik yasalarının çıkartılmasına ön ayak olmuştur.

Görüldüğü gibi Galton Kutusu “merkezi limit teoremi”ni özetlemektedir. Merkezi Limit Teoremi evrim kuramını da anlamamızı sağlar. Çünkü bir canlı populasyonunda herhangi bir özelliğin dağılımının merkezi limit teoremine uyduğu ve bir çan eğrisi oluşturduğu görülür. Zamanla çan eğrisinin uçları doğal seçilimin etkisiyle herhangi bir yönde kırpılır ve çan eğrisi sağa ya da sola doğru kayar. Bu ufak kaymalar çoğu zaman gelişigüzeldir ve birbirini götürür. Bu olguya genetik sürüklenme denir. Genetik sürüklenme belirgin bir özelliğin ortaya çıkmasıyla sonuçlanmayabilir. Ancak eğer bu sürüklenme sadece bir yöne doğru oluyorsa (doğal seçilim baskısıyla) o zaman tür değişime uğrar ve geçen zamanla birlikte yeni bir tür ya da alt tür ortaya çıkar. Örneğin populasyon yalıtılmış bir adada yaşıyorsa, adadaki kıtlıktan dolayı uzun boy dezavantaj haline gelebilecektir. Böyle bir adada izole olmuş bir populasyonda kısa boy avantaj haline gelecektir. (Küçük bedenliler az yiyeceğe ihtiyaç duyarlar.) Bu durumda çan eğrisi giderek kısa tarafa doğru kayacaktır, çünkü uzun taraf kırpılmaktadır. Bu durumun örnekleri doğada çok gözlenmektedir. Hatta bunun bir adı bile vardır: Ada cüceleşmesi. Aynı durum Kalahari Çölü gibi coğrafi bölgelerde de gözlenir. Buralarda da yiyecek kısıtlıdır ve pigmeler böyle ortaya çıkmış olabilir. Öte yandan yiyeceğin bol olduğu bir ortamda da uzun boy avantaj haline gelebilirdi. Bu durumda çan eğrisinin kısa boy ucu kırpılacak ve eğri sağa doğru kayacaktır.

Sinan İpek 

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: SİNAN İPEK

Yazar, çizer, düşünür, öğrenir ve öğretmeye çalışır. Temel ilgi alanı Bilimkurgu yazarlığıdır. Bunun dışında Matematik, bilim, teknoloji, Astronomi, Fizik, Suluboya Resim, sanat, Edebiyat gibi konulara ilgisi vardır. Ara sıra sentezlediklerini yazı halinde evrene yollar. ODTÜ Matematik Bölümü mezunudur ve aşağıdaki başarılarıyla gurur duyar:

TBD Bilimkurgu Öykü yarışmasında iki kez birincilik,
2. Engelliler Öykü yarışmasında birincilik,
Ya Sonra Öykü Yarışması’nda finalist,
Mimarlık Öyküleri Yarışması’nda finalist,
44. Antalya Altın Portakal Belgesel Film Yarışmasında finalist.

Bunlara da Göz Atın

Matematikçi Şairler Algoritması – Turgut Uyar

“nedir sonsuzdan bir önceki sayının adı diyelim sonsuz eksi bir sonsuz eksi bir hayatın adıdır …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');