İç Çarpım Fonksiyonunun Geometrik Yorumu

İç çarpım fonksiyonu uzay yapısının inşasında büyük bir önem arz etmektedir. Norm tanımlayabilmemiz için iç çarpımın tanımlı olması gerekir. Ayrıca uzaklık kavramı ve açıyı da iç çarpım ile tanımlayabiliriz. Geometrinin temeli iç çarpıma dayanıyor desek yanlış olmaz.

Geometride de iç çarpım değiştikçe uzay değişmektedir. Bu derinlemesine bir konudur. İleride ki yazılarımda bu değişimin nasıl olduğuna değineceğim. Şimdilik burayı es geçiyorum.

Öklid iç çarpımını tanımladıktan sonra geometrik olarak nasıl yorumlayabileceğimize bir bakalım.

İç Çarpım 

bir reel vektör uzayı olsun.

fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa    fonksiyonuna  üzerinde bir iç çarpım fonksiyonu, vektör uzayına da iç çarpım uzayı denir.

  1. Simetri Özelliği: için
  2. Bilineerlik Aksiyomu:

veya ve  için

   3.  Pozitif Tanımlılık:   için  .

  fonksiyonunda V vektör uzayını standart reel vektör uzayı alırsak:
  için

şeklinde tanımlı fonksiyon bir iç çarpım fonksiyonudur. Bu fonksiyona üzerinde standart iç çarpım veya Öklid iç çarpımı veya Öklid anlamında iç çarpım fonksiyonu denir. kümesi Öklid iç-çarpım fonksiyonu ile birlikte bir iç-çarpım uzayı olup Öklid Uzayı olarak adlandırılır.

Öklid Uzayını tanımladık.  Yazının başında normu tanımlamak için iç çarpımı tanımlamak gerekir demiştik. Onu açalım isterseniz.

de  vektörünün uzunluğu, boyu veya normu;  reel sayısına denir ve

olarak tanımlanır.

Bir vektörün uzunluğu diye, o vektörün başlangıç ve uç noktası arasındaki uzaklığa denir. İç- çarpımın pozitif tanımlılık aksiyomundan    olup  dir.

Ayrıca    olmak üzere  elde edilir. Kısaca bir vektörün kendisi ile iç çarpımı o vektörün normunun(uzaklığının) karesine eşittir.

üzerinde  vektörleri için

şeklinde tanımlanan fonksiyon bir iç çarpım fonksiyonudur. Burada   ile  arasındaki açıdır.  açısı

şeklinde tanımlanır.    ise   ile  vektörlerine ortogonal(dik) vektörler denir.  Öklid iç çarpımının en önemli geometrik yorumu, iki vektör arasındaki açıyı bulabilmemizi sağlamasıdır.

    ve          için        olup     bulunur.

Tersine,   ise  olup      bulunur. Sonuç olarak , n boyutlu reel vektör uzayında iki vektörün ortogonal olması için gerek ve yeter şart bu iki vektörün iç çarpımının sıfır olmasıdır. O zaman genel anlamda “diklik; iki vektörün iç çarpımının sıfır olması” demektir.

İç Çarpımın Geometrik Yorumu

Bir iç çarpım uzayında  birim vektör ve  herhangi bir vektör olmak üzere aralarındaki açı  olsun. O halde

yazılabilir. Buradan    elde edilir. Dolayısıyla iki vektörün iç çarpımı, birim olmayan vektörün birim vektör üzerine izdüşümünün boyunu verir. Ayrıca  birim vektör olduğundan dik izdüşüm vektörü için    yazılabilir.

Eğer birim vektör değil ise, vektörünün üzerine dik izdüşüm vektörü ile vektörünün   birim vektör üzerine dik izdüşüm vektörü aynıdır. O halde bu izdüşüm vektörü olmak üzere  dır. Buradan   elde edilir.

Kısaca vektörel  ve karma çarpıma da değinelim.

Vektörel Çarpım 

uzayının standart bazı olmak üzere  vektörlerinin vektörel çarpımı  veya  ile gösterilir. ile tanımlanır. Buradan

olmak üzere

elde edilir. Ayrıca

ile cebirsel olarak pratik bir şekilde hesaplanabilir.

Geometriyle;

  şeklindedir.      ile  ‘nin oluşturduğu düzleme dik birim vektör.

Birim vektörler; normu 1 olan vektörlerdir. Pozitif    doğrultularını göstermek üzere sırasıyla    birim vektörleri kullanılır.

de vektörler konusunda özellikle x, y, z eksenlerinin ve momentin pozitif yönlerini göstermek için sağ el kuralı kullanılır. Sağ el kuralında birbirine dik durumdaki baş parmak, işaret parmağı ve orta parmaktan oluşan koordinat sistemi kurulur: Baş parmak , işaret parmağı ve orta parmak ise yönlerini gösterir. Sağ el kuralı ayrıca iki vektörün vektörel çarpımındaki sonuç vektörünün “” yönünü göstermek için de kullanılır. Sağ elin baş parmak dışında kalan dört parmağı vektörel çarpım yönünü gösterecek biçimde açıldığında; geriye kalan baş parmak, vektörel çarpımın sonucu olan V sonuç vektörünün yönünü gösterir.

Vektörel Çarpımın Geometrik Yorumu 

  • İki vektörün vektörel çarpımı her iki vektöre de dik olan bir vektördür.
  • İki dik vektörün vektörel çarpımı her iki vektöre de dik olan ve boyu bu iki vektör üzerinde kurulan paralelkenarın alanına eşit yeni bir vektördür

Karma Çarpım

vektörlerinin karma çarpımı

şeklinde tanımlanır.

Karma Çarpımın veya Determinantın Geometrik Yorumu

  için  olduğunu biliyoruz.

yazılabilir.  vektörleri üzerine kurulan paralel yüzün yüksekliği olmak üzere üç vektörün karma çarpımı (veya determinantı) bu üç vektör üzerinde kurulan paralel yüzlünün hacmine eşittir.

 

Ceyda CEVAHİR

Kaynaklar:

Prof. Dr. Salim Yüce / Geometrinin Temel Kavramları

http://w3.gazi.edu.tr/~akurt/egitim/yardim/vector/vektorler.html

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Ceyda Cevahir

Matematik ile kafayı bozmuş, Rizeli bir baba ve Ordulu bir annenin hırçın karedeniz kızı. İstanbul’da başlayan yaşam mücadelem Kastamonu Göl Anadolu Öğretmen Lisesi, Karadeniz Teknik Üniversitesi Matematik Öğretmenliği, yüksek lisans ve doktoram Ordu Üniversitesi ve Ondokuz Mayıs Üniversitesi Geometri anabilim dalı diye gidiyor. Eğitim hayatım bunlardan ibaret. Anlayacağınız göçebe bir yaşam tarzım var.
Aslında gezmeyi de seviyorum. Tam bir doğa aşığı ve hayvanseverim.
Bilim ile uğraşmayı, yeni bir şeyler öğrenmeyi seven meraklı biriyim hele ki konu matematikse… Bu yolda öğrendiklerimi sizlerle paylaşacağım. Umarım keyifle okursunuz.

Matematik ile kalın, hoşça kalın. :)

Bunlara da Göz Atın

Sırt Çantası Problemi

Bilgisayar bilimlerinde optimizasyon algoritmalarıyla ilgilenmeye başladığınızda ilk karşınıza çıkacak olarak problemlerden biri olan sırt çantası …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');