Her Şeyi (Neredeyse) Çizen Formül

Bu yazıda, matematikte en şaşırtıcı formüllerden birini keşfedeceğiz. Hikayemizin kahramanı şu eşitsizliktir:

(1)

Buna bir numaralı eşitsizlik diyelim. Korkunç görünüyor ama bunu çözebiliriz.

sembolleri taban fonksiyonunu simgelesin. Bir a reel sayısı için

 , a’dan büyük olmayan en büyük tam sayı olsun

Örneğin,

 fonksiyonu a’nın b ile bölümünden kalanı hesaplasın örneğin 

x ve y tam sayıları verildiğinde 1 nolu eşitsizliğin sağ tarafında çalışabilirsiniz ve daha sonra eşitsizliğin sağlandığını kontrol edebilirsiniz. Bir örnek gösterelim:

Tupper’ın Kendinden Referanslı Formülü’ne Bir Örnek

Tupper’ın eşitsizliği

x=0 ve y=103 için sağladığını görelim

Öncelikle

\[ \Bigl \lfloor \frac{y}{17} \Bigr \rfloor = \Bigl \lfloor \frac{103}{17} \Bigr \rfloor = \Bigl \lfloor 6.06 \Bigr \rfloor = 6. \]      elde ederiz. İkinci olarak

\[ 17\lfloor x \rfloor = 17\lfloor 0 \rfloor = 0. \]                       elde ederiz. Ayrıca elimizde

\[ mod(\lfloor y \rfloor , 17) = mod(\lfloor 103 \rfloor , 17) = mod(103, 17) =1. \]  eşitliği var. Bütün bunları bir araya getirerek

\[ \Bigl \lfloor mod\left(\Bigl \lfloor \frac{y}{17}\Bigr \rfloor 2^{-17\lfloor x \rfloor - mod(\lfloor y \rfloor , 17)},2\right)\Bigr \rfloor = \Bigl \lfloor mod\left(6 \times 2^{0 - 1}, 2 \right)\Bigr \rfloor =\Bigl \lfloor mod\left(\frac{6}{2}, 2 \right)\Bigr \rfloor = \Bigl \lfloor mod\left(3, 2 \right)\Bigr \rfloor = 1. \]

elde ederiz. $\frac{1}{2}<1$ olduğundan, x=0 ve y=103 için eşitsizlik sağlar.

Bu canavarın arkasındaki Dr. Frankenstein, bilgisayar uzmanı Jeff Tupper’dır. Tupper 2001 yılındaki makalesinde bu ifadeyi yalnızca bir örnek olarak kullandı. Bu ifade sadece grafik yazılımı ile çizilebilecek tek bir fonksiyondu. Formülden bir çizim oluşturmak için (x,y)-düzlemini aşağıda gösterildiği gibi bir kenarının uzunluğu 1 olacak şekilde karelere bölmeyi hayal edin:

Tupper’ın eşitsizliğini çizmek için x’in 0’dan 105’e gelmesine izin veriyoruz, böylece toplamda 106 karemiz oluyor. Çizim ya bir kareyi boyayarak ya da boş bırakarak yapılır: Eğer x ve y için eşitsizlik doğruysa, koordinatları (x,y) olan kare boyanır. Doğru değilse kare boş bırakılır.

Yukarıda verdiğimiz örneğe geri dönelim. (0,103)  koordinatlı karenin boyanmış olması gerekir. Eğer x ve y değerlerinin birçoğu için çizim yaparsanız, sonuç şudur:

Hayır, gözleriniz sizi aldatmıyor, formülde kendine ait bir bitmap resmi var. (Çevirmenin notu: Bitmap, bilgisayarın kayıt ortamına resim kaydetme formatıdır. Teknik açıdan bitmap, bir resmi oluşturan bitleri bilgisayar ekranında görüntüye dönüştürür. Bitler, bilgisayar dilinde 0 ve 1’den oluşan veri tipleridir, yani bilgisayarda her şey binary –ikili sayı sistemiyle yazılır. Bu açıdan bakılınca, bitmap, bitleri resme dönüştüren bir dönüşümdür.) Bu sebeple formülün adı Tupper’ın Kendinden Referanslı Formülü. (Oysaki Tupper 2001 yılındaki makalesinde bu fonksiyonu kendisi adlandırmadı.)

Bununla birlikte burada eksik bir ayrıntı var.  y-eksenindeki N sayısının değeri bu.  N sayısı aşağıdaki 543 haneli sayıdır:

N=960 939 379 918 958 884 971 672 962 127 852 754 715 004 339 660 129 306 651 505 519 271 702 802 395 266 424 689 642 842 174 350 718 121 267 153 782 770 623 355 993 237 280 874 144 307 891 325 963 941 337 723 487 857 735 749 823 926 629 715 517 173 716 995 165 232 890 538 221 612 403 238 855 866 184 013 235 585 136 048 828 693 337 902 491 454 229 288 667 081 096 184 496 091 705 183 454 067 827 731 551 705 405 381 627 380 967 602 565 625 016 981 482 083 418 783 163 849 115 590 225 610 003 652 351 370 343 874 461 848 378 737 238 198 224 849 863 465 033 159 410 054 974 700 593 138 339 226 497 249 461 751 545 728 366 702 369 745 461 014 655 997 933 798 537 483 143 786 841 806 593 422 227 898 388 722 980 000 748 404 719.

y-koordinatlarıyla N ile N+16 arasındaki karelere bakarsanız ve y koordinatlayıyla  N’den küçük ve N+16’dan büyük kareleri görmezden gelirseniz, Tupper’ın Formülü’nün bitmap resmini görürsünüz.

Durum Karışık Bir Hal Alıyor

543 haneli N sayımızı beğenmediğimizi ve y ekseninde yukarı ve aşağı hareket ederek hangi çizimleri elde etmek istediğinizi söyleyin. Tupper’ın Formülü y-eksenini yukarı ve aşağı kaydırırken, eksi sonsuzdan (aşağı yönle gösterilir) artı sonsuza (yukarı yönle gösterilir) hemen hemen her şeyi çizer.

İki renk kullanılarak 106×17 boyutlarındaki bir piksel boyutuyla temsil edilebilen herhangi bir resim, belirli bir N değeri için formülün çiziminin bir yerindedir. İşte bazı örnekler:

Bu, Euler’in özdeşliği, matematiğin en ünlü denklemlerinden biridir ve çoğu zaman da en güzeli olarak kabul edilir:

Euler’in özdeşliği N ve N+16 arasındaki y koordinatları için görünür, burada

N=23 520 359 399 496 581 221 408 296 491 979 609 293 069 748 136 250 282 632 929 347 819 540 735 954 955 446 141 406 484 573 424 156 488 732 522 345 562 080 420 479 6011 434 955 111 022 376 601 635 853 210 476 633 318 991 990 462 192 687 999 109 308 209 472 315 419 713 652 238 185 967 518 731 354 596 984 676 698 288 025 582 563 654 632 501 009 155 760 415 054 499 960 ’tır.

Sırada, matematikte bir başka favori ifade olan Gauss İntegralinin bir resmi var:

N’ye karşılık gelen değer

N=156 987 402 179 570 082 907 078 791 551 211 618 836 789 749 600 368 204 518 384 965 530 593 042 781 593 968 045 017 673 854 255 572 790 978 425 505 951 477 622 475 674 449 000 956 516 765 083 074 858 053 781 764 316 876 326 523 038 849 501 790 645 548 158 781 893 81 448 932 035 874 145 965 881 631 363 964 883 085 974 756 487 867 902 744 830 960 668 082 577 437 782 189 064 512 907 889 924 899 300 621 786 362 424 181 692 579 651 239 045 992 794 686 365 369 708 864 611 291 854 934 130 524 940 679 843 180 800 552 468 281 283 793 284 632 769 100 458 995 693 741 829 668 924 772 738 264 539 491 965 665 810 196 314 332 016 077 292 880 174 239 602 703 695 648 943 390 464 074 020 112 302 080 ‘dir.

Açıkçası, bu resimleri matematiksel ifadelerin resimleri ile sınırlandırmamız gerekmiyor. Tupper’ın formülünün çiziminde herhangi bir piksel örgüsü bulunabilir.

Resimden N’ye

Daha önceden açıklandığı gibi, bu bitmap işlevinin çizimi, bir dizi kareden geçiyor. Teknik resmini çizmek istediğiniz ve karşılık geldiği N değerini bilmek zorunda olduğunuz bir resim olduğunu düşünün, N’yi nasıl bulurdunuz? Süreç oldukça basit:

  1. İstediğiniz görüntünün sol alt pikselinden başlayarak, piksel boyalı ise 1, boş ise 0 değerini yazın. Şimdi, doğrudan doğruya yukarıdaki kareyi ele alın ve aynı şekilde 1 veya 0 yazın.
  2. İlk sütunda yukarı ilerlemeye devam edin. İlk sütun bittiğinde ikinci sütuna geçin ve alttaki kareden başlayarak ikinci sütunu bitirin. Yukarıdaki gibi 0 ve 1’lerin dağılımını tekrarlayın.
  3. 106×17 piksel resmin her sütunundaki her piksele 0 veya 1 atayıncaya kadar ikinci sütunu, ardından üçüncü, dördüncü, beşinci buna benzer şekilde sütunları yukarı taşıyın.
  4. Artık inanılmaz derecede uzun bir 0 ve 1 dizisine sahip olacaksınız (tam olarak 1802 basamaklı bir dizi). Bu dizi bir ikili sayı temsil eder. Bu sayıyı 10 tabanına dönüştürün ve 17 ile çarpın.
  5. Sihir gibi, şimdi çizmek istediğiniz resme karşılık gelen N değerine sahipsiniz.

Tupper’ın Formülüyle kendiniz oynamak isterseniz, bu internet sitesini ziyaret edebilirsiniz.

Ayrıca aşağıdaki Numberphile videosunu izlemek isteyebilirsiniz.

Tadını çıkarın!

Yazar Hakkında

Harmeet Singh, Londra’dan A seviyesinde bir öğrenci. A-Düzeyleri, İngiliz Edebiyatının yanı sıra İleri Düzey ve Modern Düzeydeki Matematik derslerini de içeriyor. Saf matematiğe, özellikle Riemann Hipotezi ve analizine karşı inanılmaz tutkulu. Harmeet, Trinity College, Cambridge’de bir matematik diplomasına sahip olmayı ve profesörlüğe ve FRS’ye (Çevirmenin notu: Fellow of Royal Society: Kraliyet Topluluğu’nun Akademi Üyesi) öncülük etmeyi umuyor, tıpkı idolleri Ramanujan ve G.H. Hardy gibi.

Çeviri: Atakan YÜCEL

Kaynak: https://plus.maths.org/content/formula-plots-almost-everything

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Atakan YÜCEL

Merhaba!

Edirne Keşan Anadolu Öğretmen Lisesi’nden 2014’te mezun oldum. İzmir Dokuz Eylül Üniversitesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği bölümünde son sınıf öğrencisiyim.

Kendimi geliştirebileceğim her alanda geliştirmek için çaba harcıyorum. Bireylerin özgelişimlerinin hiçbir zaman sona ermeyeceğini ve herkesin kendisini geliştirmesi için farklı alanlarda birtakım fırsatları olduğunu düşünüyorum. Fırsatların olmadığı zamanlarda ise gerçekten gelişim isteyen bireylerin, kendilerine fırsatlar yaratabileceğine inanıyorum.

İlerlediğim bu özgelişim yolunda birçok çalışma yapmak için çaba sarf ediyorum. Kitaplar okuyor ve yazılar yazıyorum. Alanım olan matematik ile sınırlı kalmayıp, felsefeye ve sanata da vakit ayırıyorum. Bakış açımı genişletmek için farklı ülkelerden, farklı kültürlerden insanlarla tanışıyorum ve bunun için zaman yaratıyorum. Yeni diller öğrenmek için ise KPSS’den sonrası için planlar yapıyorum.

Bireyin özgelişimini gerçekleştirirken alması gereken güç, her zaman kendi içindeydi ve hala da içinde. Bu gücü kullanmaya giden yol, tamamen zihnimizde bitiyor.

İyi gelişmeler dilerim!

Bunlara da Göz Atın

Matematikçi Şairler Algoritması – Turgut Uyar

“nedir sonsuzdan bir önceki sayının adı diyelim sonsuz eksi bir sonsuz eksi bir hayatın adıdır …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');