Gram-Schmidt Ortogonalleştirme Metodunun Geometrik Yorumu

Gram – Schmidt ortogonalleştirme metodu lineer cebir ve sayısal analiz derslerinde çokça kullandığımız bir yöntemdir ve bize birçok açıdan kolaylık sağlamaktadır. Bu yöntem iki matematikçinin ismini taşır:  Jorgen Pedersen Gram ve Erhard Schmidt.  Ancak daha öncesinde Laplace ve Cauchy’nin çalışmalarında Gram-Schmidt metodunun kullanıldığı görülmüştür.

Elinize iki kalem alın. Bunları birbirine dik hale getirin. Şimdi elinize üç kalem alın bu üç kalemin her birini birbirine dik hale getirin. Bunları yaparken yaptığınız aşamaları anlamaya çalışın. Elimize dört kalem alsak bunları birbirine dik hale getirmeye çalışsak. Ne dersiniz? İşte bu üç boyutlu uzayda imkansız ancak dördüncü boyutta mümkün olabilir. Aslında bunları yaparken kullandığınız metod Gram-Schmit dikleştirme(ortogonalleştirme) metodu. Bu kalemlerin boyu bir birim olacak şekilde keserseniz de birbirine dik ortonormal dediğimiz sistemi elde edersiniz. Şimdi matematiksel olarak bakalım nasıl yapılıyor.

Bu yöntemi açıklamadan önce bir kaç kavramdan kısaca bahsedelim.

bir  iç çarpım uzayı ve olmak üzere vektör sistemindeki herhangi iki vektör birbirine dik ise bu vektör sistemine ortogonal vektör sistemi denir. Yani;   için   ise ortogonal vektör sistemidir.

Ayrıca ortogonal vektör sistemi için   olmak üzere vektör sistemine ortonormal vektör sistemi denir. Yani;  için,  ise ortonormal vektör sistemidir. Burada

  dır ve Kronecker Deltası olarak adlandırılır.

Gram Schmidt Ortogonalleştirme Metodu (Ortonormalleştirme Metodu):

Bu metodun esası; bir iç çarpım uzayında lineer bağımsız (birbiri cinsinden yazılamayan) bir vektör sisteminden önce bir ortogonal vektör sistemi daha sonra da ortonormal bir vektör sistemi elde etmektir.

boyutlu bir iç çarpım uzayı olsun. için  olmak üzere  lineer bağımsız bir vektör sistemini alalım. Gram-Schmidt metodu yardımıyla ortogonal vektör sistemi elde edilir. Bu ortogonal vektör sistemindeki her vektör kendi normuna bölünerek ortonormal vektör sistemi elde edilir yani,  olmak üzere   şeklindeki vektörlerden oluşan  ortonormal vektör sistemi elde edilir:

 Gram-Schmidt  yönteminin geometrik anlamı nedir ?

Geometrik anlamını anlatırken iç çarpım fonksiyonunun geometrik yorumundan faydalanacağız.

Bir vektör aldığımızda;

 

İki vektör aldığımızda;

 

İlk önce  vektörünün vektörü üzerine dik izdüşümü (iç çarpımın geometrik yorumudur) alınır.  dik izdüşüm uzunluğu  birim vektörü ile çarpılır. Elde edilen vektör  den çıkartılarak  vektörüne dik olan vektörü elde edilir.

Üç vektör aldığımızda;

 

lineer bağımsız vektör sisteminden ortogonal vektör sistemi elde edilir. Bu ortogonal vektör sistemindeki her vektör kendi normuna bölünerek

şeklinde ortonormal vektör sistemi elde edilir.

Gram-Schmidt yönteminde lineer bağımsız vektör sistemini matris formatında yazıp bu matrise A

bu lineer bağımsız sisteminden elde edilen ortogonal vektörler matrise Q

diyelim.  ortogonal bir matristir ve ortogonal bir matrisin tersi transpozuna eşittir.  . Bu çok önemli mi ? Evet. İşlem olarak kolaylık sağlayacaktır. Çünkü matrisin elemanları çok büyük değere sahip olduğunda tersini almak çok külfetli iken transpozunu almak aksine çok kolay olacaktır.  şeklinde çarpanlarına ayrılabilir ve  üst üçgensel matristir.

Ceyda CEVAHİR

gif: Wikipedia.org

Yazıyı Hazırlayan: Ceyda Cevahir

Matematik ile kafayı bozmuş, Rizeli bir baba ve Ordulu bir annenin hırçın karedeniz kızı. İstanbul’da başlayan yaşam mücadelem Kastamonu Göl Anadolu Öğretmen Lisesi, Karadeniz Teknik Üniversitesi Matematik Öğretmenliği, yüksek lisans ve doktoram Ordu Üniversitesi ve Ondokuz Mayıs Üniversitesi Geometri anabilim dalı diye gidiyor. Eğitim hayatım bunlardan ibaret. Anlayacağınız göçebe bir yaşam tarzım var.
Aslında gezmeyi de seviyorum. Tam bir doğa aşığı ve hayvanseverim.
Bilim ile uğraşmayı, yeni bir şeyler öğrenmeyi seven meraklı biriyim hele ki konu matematikse… Bu yolda öğrendiklerimi sizlerle paylaşacağım. Umarım keyifle okursunuz.

Matematik ile kalın, hoşça kalın. :)

Bunlara da Göz Atın

Sırt Çantası Problemi

Bilgisayar bilimlerinde optimizasyon algoritmalarıyla ilgilenmeye başladığınızda ilk karşınıza çıkacak olarak problemlerden biri olan sırt çantası …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');