Kaprekar Sabiti: 6174 Sayısı Neden Gizemli Bir Sayıdır?

Matematik tarihinin başlangıcından günümüze kadar sayılara pek çok özellik yüklenmiş, üstelik bu özellikle­rin birçoğu rastlantıyla bulunmuştur. Buna bir örnek adını Dattatreya Ramchandra Kaprekar’dan alan 6174 sayısı diğer adıyla Kaprekar sabiti olacaktır.

Kaprekar Sabiti Nedir?

Tanımlara girmeden önce şimdi sizden kağıt kalem alıp bir deneme yapmanızı isteyelim. İlk önce, tüm basamakların aynı olmadığı (yani 1111, 2222,… gibi olmayan) dört basamaklı bir sayı seçin. Eğer 137 gibi yalnızca üç basamaklı bir sayıyla başlamaya karar verirseniz, dört basamaklı bir sayı elde etmek için başa sıfır yazın. Yani sayınız 0137 olsun.

Ardından, seçtiğiniz sayının rakamları ile yazılabilecek en büyük ve en küçük sayıyı belirleyin. Son olarak, yeni bir sayı elde etmek için belirlediğiniz en küçük sayıyı en büyükten çıkarın. Ve süreci tekrarlamaya devam edin.

Bir örnek verelim. Diyelim ki tuttuğunuz sayı 4564. Belirlediğimiz en büyük ve en küçük sayı ise sırasıyla 6544 ve 4456. Şimdi büyük sayıdan küçük sayıyı çıkaralım: 6544 – 4456 = 2088. Sonrasında da elde ettiğimiz sayıyı kullanarak aynı işlemleri tekrar­layalım: 8820 – 0288 = 8532 ve 8532 – 2358 =6174. Er ya da geç ulaşacağınız sayı 6174 olacaktır. Bu sayıya ulaştığımızda işlem kendini tekrar eder ve her seferinde 6174’e döner. Başka bir örnek de aşağıda yer alıyor.

5200 – 0025 = 5175
7551 – 1557 = 5994
9954 – 4599 = 5355
5553 – 3555 = 1998
9981 – 1899 = 8082
8820 – 0288 = 8532
8532 – 2358 = 6174
7641 – 1467 = 6174

Her seferinde ulaşacağınız sayı 6174 olduğu için 6174 sayısı Kaprekar sabiti olarak da bilinir. Rastgele seçilmiş basamakları aynı olmayan dört basamaklı hangi sayı ile başlarsanız başlayın ve en fazla 7 adımdan sonra her zaman 6174 sayısına ulaşacaksınız.

Kaprekar’ın 1949’da yaptığı bu gözlemden sonra matematikçilerin ne­yin peşinden koştuğunu tahmin etmek artık zor değil. Bu sürece aynı zamanda Kaprekar’ın rutini de denir. Rutin kelimesi, her zaman en fazla 7 tekrarlamada 6174 sayısına ulaşacağınızı ve 6174’e ulaştığınızda işlemin aynı sayıyı üretmeye devam edeceğini belirtmek için kullanılmıştır.

Neden 6174 Sayısı Gizemli Bir Biçimde Karşımıza Çıkıyor?

Herhangi bir dört basamaklı sayının basamaklarını azalan düzende sıralarsak maksimum sayıyı ve artan düzende sıralarsak minimum sayıyı elde ederiz. Sayılarımız birbirinden farklı a, b, c, d ise ve 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 biçiminde bir sıralama varsa, en büyük sayı abcd ve en küçük sayı ise dcba olacaktır. Bunları birbirinden çıkartarak Kaprekar işleminin sonucunu hesaplayabiliriz.

abcd – dcba= ABCD olsun. Burada D = 10 + d – a ( a > d); C = 10 + c – 1 – b = 9 + c – b ( b > c – 1); B = b – 1 – c ( b > c) ve A = a – d biçiminde olacaktır. Bu denklem sisteminin çözümü sadece a=7, b=6, c=4 ve d=1 için geçerlidir. Bu da bize 6174 sayısını vermektedir.

Benzer bir sonuca üç basamaklı sayılar ile de ulaşabiliriz. Örneğin üç basamaklı 753 sayısına bir göz atalım. 753 – 357 = 396; 963 – 369 = 594; 954 – 459 = 495; 954 – 459 = 495. Gördüğünüz gibi bu sefer de 495 sayısında döngüye giriyoruz. Merak ederseniz söyleyelim. 5 basamaklı­lar için birden fazla sabit mevcut. 6 basamaklılar için ise 549945 sayısında döngü başlıyor. Ayrıca iki basamaklı sayılar ile de denemeler yaparsanız bir döngü olmadığını görebilirsiniz.

Kaprekar Adı Matematikte Karşımıza Farklı Yerlerde de Çıkar

Aslında matematikte Kaprekar adı karşımıza bir kere daha çıkar. Şimdi 297 sayısının karesini alalım bu 88 209 olacaktır. Bu sayıyı iki parçaya ayrılım, 88 ve 209 sayılarını oluşturalım. Bu iki sayının toplamı 88 + 209 = 297 ilk sayımıza eşittir.

Bu özelliği gösteren sayılara da Kaprekar Sayısı denir. Örneğin 45 sayı­sını ele alalım: 45, 2 basamaklı bir sayı 45² = 2025 sağdan 2 basamak 25, sol­dan 2 basamak 20. Bu ikisinin toplamı da 20 + 25 = 45 yani sayının kendisi. Diğer bir örnek 17344² = 300814336, sağdan 5 basamak ve kalan 4 basama­ğın toplamı: 3008 + 14336 = 17344. Gerçekten ilginç değil mi? Aşağıda daha fazla Kaprekar sayısını görebilirsiniz.

Kaprekar sayısı sadece kare alma işleminde karşımıza çıkmaz. Bazen sayıların küpünü alırken de benzer bir durum oluşur. Bu sayıları da Kaprekar üçlüsü denir. Örneğin 45³ = 91125 = 9 + 11 + 25 = 45 yapar. Diğer Kaprekar üçlüleri: 1, 8, 10, 297 ve 2322’dir. Daha fazlasını bulmak eğlenceli bir aktivite olabilir.

Dattaraya Ramchandra Kaprekar Kimdir?

Dattaraya Ramchandra Kaprekar, (1905–1986) tüm bunları sayılar teorisine kazandırmış olmasına rağmen kendisinin formal bir matematik eğitimi yoktu. Bir matematik öğretmeni ya da matematik çalışmaları yapan birisi de değildi. Bir insanın aklına tüm bunları neden bulduğu sorusunun gelmesi kolaydır. Ve aslında cevabı da çok basittir. O sadece sayılarla oynamayı seven biriydi.

O zamanlarda bu çalışmaları matematikçiler tarafından pek de dikkate alınmasa da ilerleyen yıllarda zamanında kazanamadığı itibarı elde etti. Zaman içinde Kaprekar’ın fikirleri hem Hindistan’da hem de ülke dışında ilgi görmeye başladı.

1970’li yıllara gelindiğinde, Martin Gardner, popüler bilim dergisi Scientific American’da onun hakkında bir makale kaleme aldı. Bugün Kaprekar ve yaptığı keşiflerin geçerliliği dünya genelinde tüm matematikçiler tarafından kabul ediliyor.

Sonuç olarak bir sonraki Ramanujan olmanız muhtemelen pek olası değil. Ramanujan gibi dâhilere nadir rastlanır. Ancak umudunuzu yitirmeyin. Belki biraz da şansla bir sonraki Kaprekar siz olabilirsiniz. Ayrıca göz atmak isterseniz: Neden 42 Sayısı Hayat Evren ve Her Şeyin Cevabıdır?

Kaynaklar ve ileri okumalar:

• Posamentier, Alfred S; Numbers: Their Tales, Types, and Treasures; 2015; Prometheus Books
• Mysterious number 6174; yayınlanma tarihi: 1 Mart 2006; Bağlantı: Mysterious number 6174
• Dattatreya Ramachandra Kaprekar; Bağlantı: Dattatreya Ramachandra Kaprekar
• Nishiyama, Yutaka. (2012). The weirdness of number 6174. International Journal of Pure and Applied Mathematics. 80. 363-373.

Size Bir Mesajımız Var!

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.

Matematiksel