Gizemli Bir Sayı: Kaprekar Sabiti

Matematik tarihinin başlangıcından günümüze kadar sayılara pek çok özellik yüklenmiş, üstelik bu özellikle­rin birçoğu da rastlantıyla bulunmuş. Bir sayı ile fark edilip tanımlanan özel­lik, ardından  önce ona uyan diğer sayıları aramaya, devamında da bu tür sayıların davranışlarını incelemeye it­miştir matematikçileri.

Size bu yazıda aynı ismi paylaşan ve matematiğin karadelikleri diye tanımlayabileceğimiz iki durumdan bahsedelim.

Hint matematikçi D. R. Kaprekar 1949’da şöyle bir gözlem yaptı: Öyle bir n basamaklı t sayısı olsun ki bu sa­yının karesini alıp (t2) sağdaki n basa­mağı solda kalan n veya n-1 basamağa ekleyince sonuç yine t sayısını versin. Bu özelliği sağlayan sayılar da Kaprekar sayıları olarak adlandırılıyor.

Örneğin 45 sayı­sını ele alalım: 45, 2 basamaklı bir sayı 452 = 2025 sağdan 2 basamak 25, sol­dan 2 basamak 20. Bu ikisinin toplamı da 20 + 25 = 45 yani sayının kendisi.

Diğer bir örnek 173442 = 300814336, sağdan 5 basamak ve kalan 4 basama­ğın toplamı: 3008 + 14336 = 17344.

Gerçekten ilginç değil mi?

Hazır Kaprekar sayılarından söz aç­ılmışken, bu sayılarla pek ilgisi olmayan, ama adını yine aynı kaynaktan alan Kaprekar sabitinden bahsetmeden geç­mek olmaz.

Bir sayı tutmakla başladığımız oyunlar hep ilginç bir sona ulaştırır bi­zi; hesaplarda bir hata yapmazsak ta­bii.

Önce 4 basamaklı bir sayı tutalım: 4564.

Sonra onu basamaklarının sayı değer­lerinin artış ve azalışına göre sıralayıp yeni iki sayı üretelim: 6544 ve 4456 Şimdi büyükten küçüğü çıkaralım: 6544 – 4456 = 2088 Aynı işlemleri çıkan sayı için de tekrar­layalım:

8820 – 0288 = 8532

8532 – 2358 =6174

İşte bu 6174 sayısı Kaprekar sabiti olarak bilinir.

Herhangi 4 basamaklı bir sayı için bu işlemler serisini (en fazla 7 kez) yaptığı­nızda ya 0 sonucuna ya da 6174 sonu­cuna ulaşıp kısır bir döngüye girersi­niz. Kaprekar’ın 1949’da yaptığı bu gözlemden sonra matematikçilerin ne­yin peşinden koştuğunu tahmin etmek artık zor değil. 4 basamaklı sayılar ha­ricindekiler için bu işlemler serisi nasıl sonuç veriyor? Bunun yanıtı şöyle: So­nuç ya 0 oluyor, ya sabit bir sayıya ula­şılıyor ya da kısır bir döngüye giriliyor.

Örneğin 6 basamaklılar için 549945 sa­bit sayısına ulaşılıyor ama 5 basamaklı­lar için birden fazla sabit mevcut.

Bun­ların yanısıra kaç basamaklı bir sayı için en fazla kaç işlem yapıldığı da araştırmaların merak konusu.

Son olarak, Kaprekar; Kaprekar Sabiti değerlerini sayılar teorisine kazandırmış olmasına rağmen kendisinin formal bir matematik eğitimi yoktu. Bir matematik öğretmeni ya da matematik çalışmaları yapan birisi de değildi. O sadece sayılarla oynamayı seven oldukça zeki bir dünya vatandaşıydı.

Önemli olan merak, devamı zaten kendiliğinden gelecektir…

Konu ile ilgili yazılmış başka bir yazımızı da buradan inceleyebilirsiniz: http://www.matematiksel.org/bilgi-islemsel-dusunme-kaprekar-6174/

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

İki Kişilik Düello mu, Üç Kişilik Triello mu?

Gerek kovboy filmlerinden gerekse tarihte sıkça karşımıza çıkan düello pek çok kişinin bildiği, iki kişi …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');