Euler’in Çokyüzlüler Formülü

Bir üçgen düşünün. Ardından kenar sayısını birer arttırarak kare, beşgen, altıgen, yedigen…Genel adıyla bu şekillere poligon(polygon) denilir. Yunanca da “poly” çok ve “gon” ise açı anlamına gelmektedir.

Şimdi  boyutları arttırarak düşünmeye devam edelim. Küp, piramit, hatta bir sekiz yüzlü düşünelim. (octahedron)  Bu üç boyutlu şekillerin isimleri ise polyhedron (çokyüzlü) yada polyhedra olarak adlandırılır. Polyhedronlar yüzeyleri poligonlardan oluşan kapalı şekillerdir.  

Platonik cisimler çokyüzlü örneklerdir. Soldan sağa dört yüzlü tetrahedon, altı yüzlü küp, sekiz yüzlü oktahedron, oniki yüzlü dodecahedron ve yirmi yüzlü icosahedron var.

Şimdi bu çokyüzlülerin köşe, kenar ve yüzey sayılarını sayalım. V köşe sayısını, E kenar sayısını ve F  yüzey sayısını belirtsin. Burada karşımıza şöyle bir denklem çıkmakta.

İşte bu formül Euler’in Çokyüzlü Formülü  olarak bilinir. Ancak diğer bir çok formülde olduğu gibi bu formülün adında da Euler geçmesine rağmen onu bulan kişi o değildir. Bu formül ilk olarak 1639 yılları civarında René Descartes tarafından ifade etmiştir. 1650 yılında İsveç’te Descartes’in ölümünden sonra tüm çalışmaları Fransa’ya götürülmek için tekneye koyulmuş ama tekne Fransa’ya varamadan Seine nehrinde batmıştır. Tüm çalışmalar 3 gün nehrin altında kalmış ancak bir biçimde nehirden çıkartılıp kağıtların bazıları hayata döndürülebilmiştir.

Başka ünlü bir matematikçi olan Gottfried Wilhelm Von Leibniz, 1675 yılında formülün bir parçasına ulaşmış ve üzerinde çalışmıştır. Ancak onun bu çalışması da 1860 yılına dek Hannover Kraliyet Kütüphanesi’ndeki bir dolapta unutulup kalmış. Bir formül için oldukça dramatik bir durum…

Bu formül ilk kez Euler tarafından 1750 yılında yayınlandı ve 1751 yılında kanıtlandı. Bu formülün güzelliği  bir çokyüzlünün iki yüzünün hangi açı ile bir araya geldiğini veya ne kadar uzun kenarlarının olduğunu bilmeniz gerekmemesidir. Yani ölçümlerden bağımsızdır.

Euler’in formülü bize, yedi kenarlı bir çokyüzlü olmadığını söyleyebilir. Bunu bulmak için mukavva, makas ve tutkal ile boşuna uğraşmanız gerekmez. Neden olmadığını merak ediyorsanız göz atabilirsiniz.

Euler formülünü benzer şekilde kullanarak on yüz ve on yedi köşeyi içeren basit bir çokyüzlü olmadığını keşfedebiliriz. ( İçerisinde bir delik olmayan çok yüzlülere basit çok yüzlü ifadesi kullanılır)

Euler formülünün birkaç görsel ile doğruluğunu gösterelim;

Köşe Sayımız : 4

Yüzey Sayımız : 4

Ayrıt Sayımız : 6

Euler Formülüne Göre;


Köşe Sayımız : 8

Yüzey Sayımız : 6

Ayrıt Sayımız : 12

Euler Formülüne göre;

 

Köşe Sayımız : 6

Yüzey Sayımız : 8

Ayrıt Sayımız : 12

Euler Formülüne göre;

 


Köşe Sayımız : 20

Yüzey Sayımız : 12

Ayrıt Sayımız : 30

Euler Formülüne göre;

Bu formül bütün çokyüzlüler için geçerli mi? Pek sayılmaz…

İçinde delik olan çokyüzlüler için bu formül tutmaz. Hatta bir çokyüzlüde g adet delik varsa eşitlik şu hali alır:

F +V – E=2 – 2g

Delik denilen şey tam olarak nedir derseniz. Bunu tanımlamak biraz zor ancak deliksiz olanı tanımlamak daha kolay. Bir çok yüzlü sürekli deforme edilebiliyorsa ve sonuçta bir küre halinin alabiliyorsa deliksizdir.

Euler’in bu formülü uzun süre matematikte uzun süre itibar görmedi ancak topoloji tanımının yapılması ve gelişmesi ile birlikte hak ettiği değeri kazandı.

Referanslar ve İleri okumalar:

(1) http://eusebeia.dyndns.org/4d/uniform3d

(2) https://plus.maths.org/content/eulers-polyhedron-formula-2

 Matematiksel  

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim…

Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere…

Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim.

Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı.

Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Matematiksel Eşitliklerde Güzellik – Çirkinlik Algısı

Beyin taramalarının gösterdiğine bakılırsa matematiksel formüllerdeki karmaşık sayı ve harf dizileri beynimizde sanatsal bir başyapıtın …

Bir Yorum

  1. 62 yüzeyli arşimet köşeli topunda beşgenin etrafındaki üçgen ve dikdörgenler dışa bombeli değil de biraz içe çökük gibi düşünülse formül değişmez.
    kübün bir yüzünün üstüne tabanı dört kenarlı piramit koysam:
    yüzey 5+4=9
    kenar 12+4=16
    köşe 8+1=9
    formül oluyor.
    kübün dışına değil de içine doğru piramiti çevirsem formül yine olur.
    kübün altı kenarından birden içe doğru kare piramit oysam piramitlerin sivri ucu deymemek şartıyla formül yine olur.
    içe uzayan piramitlerin sivri uçları deyip birleşeceği tutarsa işler arap saçına döner ve formül dalgalanır yani birleşen piramit köşelerini tek köşe değil de altı köşe farzedersem yani tek bir noktayı altı noktanın tek görülen hali olarak farzedersem formül ancak o zaman durur.

    dört adet üçgen tabanlı eğik prizmaları birleştirip simit yapsam formül aksar. ama simidin sadece bir yerinden üçgen prizmarların ikisini az kısa yapıp ayırsam yani köşeli üç boyutlu bir C harfi gibi olan şekilde formül tama olur. bu son halde kısa olan üçgen prizmaları biraz uzatıp kaynaştırsam ve tekrar simide dönsem ne değişti?
    birleşinde simide dönen iki üçgen pirizmada:
    iki uç üçgen yüzey kayboldu.
    2×3 kenar ise sadece 3 kenara döndü.
    2×3 köşe ise sadece üç köşe olarak görünmeye başladı.
    o halde simitte sıfır görünen ama aslında iki içte kalan ekstra yüzey, birleşik olduğu için 3 görünen ama altı olan kenar ve üç görünen ama aslında altı olan köşe şeklinde {algı düzenlemesi} ile bu formül simitte bile çalışır.
    dört boyutlu hiper kübü düşünelim:
    16 köşe
    16 yüzey
    30 kenar
    formül çalışır.
    dört boyutlu uzayda eğik üçgen pirizmalardan oluşan içi dışına çıkmış simidi yani möbius şeridinin yüzey yerine hacim halini düşünelim. bu durumda bile {algı düzeltmesi} ile formül çalışır.
    ne formülmüş be abi, algımız bizi aldatmasaydı, nerdeyse evrenselmiş, hayran kaldım.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');