Euler’in 36 Subay Bulmacası ve Latin Kareler

Bulmaca çözmeyi sever misiniz? Bir çok kişinin cevabı evet olacaktır bu sorumuza elbette, o zaman  çözümü imkansız olarak kabul edilen bir bulmaca ile tanıştıralım sizi.

Bulmacaya geçmeden evvel bir miktar bilgiye ihtiyacımız olacak.

Elinizde 1,2 ve 3 rakamları olsun ve sizden bunları rakamların her biri her satır ve her sütunda birer kez bulunacak biçimde 3×3 lük bir ızgaraya yerleştirmeniz istensin. Yandaki şekil dizebileceğiniz olasılıklardan bir tanesi. Aslında tam 12 tane farklı kare yapabilirsiniz. İşte bu oluşturduğunuz sayı dizinine 3. dereceden Latin Kare denir. Bu örneği genişleterek istediğiniz dereceden Latin kare oluşturabilirsiniz elbette. Birde ufak bir hatırlatma illa sayı kullanmanız gerekmez elbette bir Latin kare oluşturmak için. Bazen harfler, bazen şekiller kullanarak  bu kareleri oluşturabilirsiniz.

Sadece 1 ve 2 sayılarını seçerseniz toplam 2 Latin kare

1,2,3 sayılarını seçerseniz ilk örnekte de bahsettiğimiz gibi toplam 12

1,2,3,4 sayılarını seçerseniz 576

1,2,3,4,5 sayılarını seçerseniz 161 280 farklı dizilim elde edebilirsiniz ve bu sayı çok hızla büyüyerek artar.

11 tane sayı seçerseniz karşınıza 776966836171770144107444346734230682311065600000 gibi bir sayı çıkacaktır.

Bazen Latin kareleri birleştirmemiz gerekebilir. Bu tür karelere grekoromen kareler denir. Aynı zamanda Euler kareleri olarak bilinirler. Koordinatlarından iki ayrı  Latin kare elde edilmiş bir grekoromen kare yanda görülüyor. Birleştirildiğinde grekoromen kare elde edilen Latin karelere dik Latin kareler denir.

Bu kadar ön bilgiden sonra şimdi sorumuza geçelim.

Problemimizin adı Euler’in 36 Subay Problemi.

Elinizde 6 tane alay var ve bunların her birinden farklı rütbeye sahip 6 subay seçmeniz gerekiyor. Bu 6 x 6 yani 36 subay, her sırada ve sütunda her alaydan birer temsilci olacak biçimde 6 x 6 lık bir kareye yerleştirilebilir mi?

Euler bu soruyu 1782’de sormuş ancak çalışmalarının neticesinde yerleştirilemeyeceğine sezgisel olarak karar vermişti. Sorunun çözümünün mümkün olmadığını gösteren bir kanıt 1901 yılında Fransız bir matematik öğretmeni olan Gaston Terry tüm olasılıkları deneyerek ( daha doğrusu öğrencilerine deneterek!) bunun olamayacağını göstermiştir.

Eğer alay ve rütbeleri 1’den 6 ya kadar numaralandırırsak, her subay, x, y ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} için, ayrı bir (x, y) ikilisine tekabül eder. Euler’in sorusunu çözmek demek, bu 36 tane (x, y) ikilisini  6 × 6’lık bir kareye, hem birinci koordinatlar (yani x’ler) hem de ikinci koordinatlar (yani y’ler) bir Latin kare oluşturacak biçimde yerleştirmek demektir.

Euler böyle iki Latin kare bulamadığı gibi, derecesi 10, 14, 18, 22 olan birbirine dik Latin kareler de bulamamıştır. Bundan yola çıkarak, Euler’in ölümünden sonra, derecesi 4k + 2 olan iki dik karenin olamayacağı sanısı ortaya çıkmıştır.

1984’te Stinson bu imkansız durumun bir matematiksel kanıtını yayınlamıştır.

4k+2 kuralı 1960’a kadar yanlış olarak kabul edilirken matematikçiler Bose, Shrikhande ve Parker, 2 ve 6 hariç dik Latin karelerin var olduğunu ispatlamıştır.

Latin karelerin günlük yaşantımıza katkıları çoktur. Günümüz Sudokunun öncüllerinden sayılabilecek bu karelerin en önemli katkısı elbette kombinatorik yani sayma problemlerinin uygulama  alanlarında oldu. Bunlar nelerdir derseniz, cevabı da bir başka yazının konusu olsun.

Sibel Çağlar

Kaynak:

http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/PDF/04_4_09_12_LATINVEGREKOROME.pdf

https://plus.maths.org/content/36-officers-problem

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi İngilizce Matematik Öğretmenliği, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Bir Teorem & Bir Çizim

Euclid’in Stoikheia’sında geçtiği şekliyle üçgene dair bir teorem ve de çizimle karşınızdayım. Problem 20 (Üçgen …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir