Euclid’in Stoikheia’sında Yer Alan Pisagor Teoreminin İspatı

Pisagor Teoreminin yüzlerce ispatı vardır, bu yazıda yer verdiğimiz ve Euclid’in Stoikheia (Öğeler) adlı yapıtında geçen ispat ne en kolayı ne de en güzelidir. Yalnız Euclid’in bu eseriyle geometriye dolayısıyla matematiğe getirmiş olduğu yeni soluk yani aksiyomatik sistem açısından da son derece mühim bir ispattır. Deyim yerindeyse bu ispatı yapabilmek için Euclid bir cilt kitap yazmıştır. İspat yapılırken her cümlenin sonunda o adımın neye dayandığı açık bir şekilde ifade edilmiştir. Bunların bazıları tanım, bazıları aksiyom bazıları çizim bazıları da teoremlerdir.  Ve ispatın sonunda yer alan Q.E.D ibaresi Latince quod erat demonstrandum  yani “ispatlanması gereken de budur” anlamında bir sözdür. Günümüzde bunun yerine ispatın sonunda sağ tarafta küçük bir kare resmedilir.

Problem 47: Bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenarın karesi dik açıya komşu olan kenarların karelerinin toplamına eşittir.

ABC, BAC açısı dik açı olan bir dik açılı üçgen olsun.

Diyorum ki BC kenarının karesi, BA ve AC kenarlarının karelerinin toplamına eşittir.

BC kenarı üzerine BDEC karesini, BA ve AC kenarları üzerine de GB ve HC karelerini çiz. AL doğru parçasını BD veya CE ye paralel olacak şekilde çiz. AD ile FC yi çiz. (I.46 ,I.31 , Post.1)

(Not: GB karesinden kastedilen GABF karesi, HC karesinden de kastedilen HACK karesidir.)

BAC ve BAG dik açılardır. BA doğru parçası A noktasında AC ve AG kenarları ile yapmış oldukları komşu açıların toplamları iki dik açıya eşit olduğundan CA ve AG doğru parçaları aynı doğrultudadır. (I.Def.22, I.14)

Aynı sebepten BA ile AH da aynı doğrultudadır.

DBC ve FBA açıları birbirine eşit olan dik açılardır. Her birine ABC açısını ekleyelim. Bu durumda DBA açısı da FBC açısına eşit olur. (I.Def.22 ,Post.4 ,C.N.2)

DB kenarı BC kenarına, FB kenarı BA kenarına eşittir. AB ve BD kenarları, sırasıyla FB ve BC kenarlarına eşit ve ABD açısı FBC açısına eşit olduğundan AD kenarı da FC kenarına eşittir ve ABD ile FBC üçgenleri ile eştir. (I.Def.22 ,I.4)

Aynı BD ve AL paralel kenarlar altında aynı BD tabanına sahip olduklarından dolayı BL paralelkenarının alanı ABD üçgeninin alanının iki katıdır,  Yine aynı FB ve GC paralel kenarlar altında aynı FB tabanına sahip olduklarından dolayı GB karesinin alanı FBC üçgeninin alanının iki katıdır. (I.41)

(Not: BL paralelkenarından kastedilen BDLM paralelkenarıdır)

Bu durumda BL paralelkenarının alanı GB karesinin alanına eşittir.

Benzer olarak AE ve BK kenarları çizilirse, CL paralelkenarının alanı  HC karesinin alanına eşittir. BDEC karesinin alanı  GB ve HC karelerinin alanları toplamına eşittir. (C.N.2)

BDEC karesi BC kenarı üzerine, GB ve HC kareleri BA ve AC üzerlerine kuruludur.

Buradan BC kenarının karesi BA ve AC kenarlarının kareleri toplamına eşittir.

Bu yüzden bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenarın karesi dik açıya komşu olan kenarların karelerinin toplamına eşittir. 

Q.E.D

 

Şimdi de Kitty FERGUSON’un Kadim Pythagoras Kardeşliği adlı kitabında yandaki resme dair yaptığı yorumla yazımızı sonlandıralım.

Ege Denizi’ndeki Samos Adası’nda, limanın denize doğru uzanan dar kolunda, sade ve iskeletimsi bir heykel vardır. Büyük demir bloklar, dev bir dik üçgen oluşturacak şekilde gökyüzünden düşmüş gibidir. Diyagonalin bir ucu yere gömülmüştür. Dik açıdan yükselen dikey çizginin yerinde, doğal boyutlardan daha uzun, zayıf bir adamın heykeli yer almaktadır. Adam sağ koluyla yukarı uzanmakta ve sanki tamamlandığında üçgenin dik kenarını oluşturacak kırık demir parçasını sihir ile aşağıya çekmeğe çalışmaktadır. Adamın parmaklarıyla demirin alt ucu arasında, Sistine Şapeli’nin tavanındaki Adem’in ve Tanrı’nın parmaklarını ayıran boşluk gibi bir boşluk vardır. Üçgen, bu adamın yarattığı bir şey değildir. O evren kadar eski, hakikat kadar eskidir.

Aykut ÇELİKEL

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı tartışma zemininde okumak.

Bunlara da Göz Atın

İslam Dünyasında Matematik

Bilimsel bilgi evrensel bir özellik taşır. Irk, milliyet, din ve cinsiyet gibi ayrımları kabul etmez. …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir