Euclid’in Stoikheia’sı

Öklid geometrisini değil, Riemann geometrisini kullanan Einstein’ın, Elementler’e ilişkin yargısı son derece çarpıcıdır: “Gençliğinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse, kuramsal bilimde önemli bir atılım yapabileceği hayaline boşuna kapılmasın!”

Matematiğin gerçekten ne olduğunu  Öklit’in Elemanlar eserinin ilk iki cildini yazarak, didik didik okuduğumda anladım. Hatta o anların verdiği hayretle, hep eleştirilen daimicilik, esasicilik eğitim felsefeleri aklımdan bir film şeridi gibi geçti. Oradaki eleştirilerin biri de şuydu: Klasik kitaplar eğitimi… Sonrasında bu eleştirilerim karşısında çok acımasız olduğumu fark ettim.

Öklit’in bu eserini yazarken izlediği yol kabaca şu şekildedir: Öklid bu onüç ciltlik eserinin her bir cildine (gerekiyorsa) bazı tanımlar ve postulatlarla başlıyor. Nihayetinde kendi hedeflediği yere gitme yolunda problemler ortaya atıyor ve bu problemleri (bazıları çizim, bazıları teorem vs. ) tek tek elindeki tanım ve postulatları ve bir önceki çözdüğü problemleri dayanak göstererek çözüme kavuşturup, ilerliyor. Bu şekilde tüm ciltleri bitiriyor.

İlk cildiyle ilgili birkaç şey söylemek gerekirse; 23 tanım, 5 postulat ve 5 aksiyomla başlayan bu cildin ilk problemi eşkenar üçgen çizimidir. Cildin sonunda ise pisagor teoreminin ispatı yer almakta. Son cildinde de Platonik  cisimlerin çizimlerine yer vermiştir. Geniş çerçevede bakarsak ilk problem olarak eşkenar üçgen çizimini seçmesi hiç de boşa değildir. Çünkü platonik cisimlere baktığımızda bunlar, her yüzü eşkenar üçgen olan dört yüzlü, sekiz yüzlü, yirmi yüzlü ve yüzleri kareler olan küp,  bir de yüzleri düzgün beşgenlerden oluşan oniki yüzlü.

Sanki Öklit sırf platonik (yüzeyleri düzgün çokgenlerden oluşan) cisimlerin bunlar olduğunu ve bunlardan başka olamayacağını ispatlamak adına böyle bir girişimde bulunmuş. Tabi bunu böyle sınırlamak doğru değil aynı zamanda eğitim-öğretim hayatımız boyunca geometri adına okuduğumuz öğrendiğimiz hemen hemen her şey de bu eserde mevcut.

Bu eserin farkına ve de zevkine varır varmaz ilk aklıma gelen bunu öğrencilerimle de kesinlikle paylaşmalıyım oldu. O gün bugündür de o anı kovalamaktayım. Bir gün kendimi öğrencilerimle beraber bu kitabı okurken bulacağıma inanıyorum. Ve o anı sabırsızlıkla bekliyorum.

Gelelim bu muhteşem eserin ilk problemine…

Problem 1: Uzunluğu belli olan bir doğru parçası üzerine eşkenar üçgen çizimi

[AB] uzunluğu belli olan bir doğru parçası olsun. Bizden istenen [AB] doğru parçası üzerine bir eşkenar üçgen çizmek.

A merkezli [AB] yarıçaplı BCD çemberini çiz sonra B merkezli [BA] yarıçaplı ACE çemberini çiz.  [Postulat 3]

Sonrasında [CA] ve [CB] doğru parçalarını çiz. [Postulat 1]

A noktası BCD çemberinin merkezi bu sebeple [AC] doğru parçasını uzunluğu [AB] doğru parçasının uzunluğuna eşittir. B noktası da ACE çemberinin merkezi bu sebeple [BC] doğru parçasının uzunluğu da [BA] doğru parçasının uzunluğuna eşittir.  [Tanım 15] [AC] doğru parçasının uzunluğunun [AB] ye eşit olduğunu göstermiştik.O halde [AC] ve [BC] doğru parçalarının uzunlukları [AB] doğru parçasının uzunluğuna eşittir.

Aynı şeye eşit olan iki şey birbirine eşittir. Bundan dolayı [AC] doğru parçasının uzunluğu da [BC] doğru parçasının uzunluğuna eşittir. [Aksiyom 1]

O halde [AC], [BC] ve [AB] doğru parçalarının uzunlukları birbirine eşittir.

Bu yüzden ABC üçgeni eşkenar üçgendir ve bu üçgen [AB] doğru parçası üzerine çizilmiştir. [Tanım 20]     Q.E.F.   

Problemin çözümüne baktığımızda her basamağının neye dayandığı açıkça belirtilmiştir. Her paragrafın sonunda belirtilen tanım, postulat ve aksiyomlar cildin başında mevcuttur.  En sonda yer alan Q.E.F. ibaresi de latince quod erat faciendum kelimelerinin baş harflerinden meydana gelmektedir. Bu da “yapılması gereken de budur” anlamındadır.

Not: Aşağıda bu problemin çözüm basamaklarının görselleri yer almaktadır. Bu görseller Geogebra programı kullanılarak çizilmiştir.

Aykut Çelikel

Kaynakça:

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI1.html

Matematiksel

 

Yazıyı Hazırlayan: Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı tartışma zemininde okumak.

Bunlara da Göz Atın

İslam Dünyasında Matematik

Bilimsel bilgi evrensel bir özellik taşır. Irk, milliyet, din ve cinsiyet gibi ayrımları kabul etmez. …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir