Matematiksel Güzellik: Euler Formülü

“Matematik doğru açıdan bakıldığında, sadece gerçeğe değil ulvi bir güzelliğe de sahiptir. Bu güzellik bir heykeldeki gibi soğuk ve serttir. Zayıf doğamız için herhangi bir çekiciliği olmayan, resmin veya müziğin göz kamaştırıcı süslerinin olmadığı ama yine de yüce bir saflıkta ve tam bir kusursuzluk içinde.”

Bertrand Russell

Matematikte güzellik göreceli kavramdır. Hele ki adı geçen şey bir denklemin güzelliği ise. Ancak birçok matematikçinin hemfikir olduğu bir gerçek vardır. İçinde barındırdığı 5 sihirli sayı nedeni ile Euler Formülü gelir.

Formül deyince bir dakika durmamız gerekli, neden bazı kaynaklarda belirtildiği gibi Euler Denklemi ya da Euler Özdeşliği değil de formülü…

Eğer adına denklem deseydik bir çözümü olması lazımdı… Demek ki denklem değil…

Eğer adına özdeşlik deseydik değişkenler yerine ne yazılırsa yazılsın sonucun sağlaması lazımdı, ancak işin içinde zaten hiç değişken yok, demek ki özdeşlikte değil…

Geriye kala kala formül demek kaldı elimizde.

Ancak bir başka genel yapılan yanlış daha var bu formül hakkında. Her ne kadar formülün adı Euler olsa da aslında bu formülü ilk bulan kişi kendisi değil. Aslına bakarsanız Roger Cotes tarafından 1714 yılında bu formül kaleme alındığında Euler henüz 7 yaşında bir çocuktur…

Roger Cotes adı unutuldu, matematikte yüzlerce denkleme damga vuran Euler’in adı da kendisini dolaylı olarak üzerinde çalıştığı bu formül ile hafızalara yazıldı.

Şimdi gelin bu formülü ve onu özel kılanları yakından inceleyelim. Formülümüz:

biçimindedir. İçinde 5 tane ifade barındırır, e sayısı, pi sayısı, i ifadesi, 1 ve 0 sayıları.

Sıfır (0) Hiçlik, boşluk ve sonsuzluk kavramlarının tarihi çok eskiye dayanır. Ancak izi sürülebilen en eski sıfır ifadesi, 650 yılı civarında yaşamış Hintli düşünür Brahmagupta’ya dek uzanır. Bu buluş, bir diğer Hint icadı olan basamaklı değer kavramı ile birleşince çok daha kullanışlı hale gelmiştir. Yöntemin Avrupa’da tam anlamıyla benimsenmesi ise 15.yüzyılı bulmuştur.

Bir (1) Tüm diğer sayılar içlerinde kaç tane 1 olduğunu söylediğine göre bir sayısı olmadan matematik olamazdı. Ayrıca 0 ve 1 tüm bilgisayarların altyapısını oluşturan ikilik sistem rakamları olup, 0’ın yokluğu simgeleyişi gibi 1 de varlığı simgeler.

i sayısı Lise yıllarına gelene dek negatif sayıların kökünün olmadığı söylenir; çünkü henüz sanal sayılarla tanışmak için erkendir. i sayısı -1’in karekökü olarak tanımlanır.

Sanal, hayali yani imaginary sayıların kullanımı 17. yüzyıl zamanlarına denk gelse de belki de adından dolayı bu sayılar uzunca bir süre matematikte hak ettikleri itibarı görmemişlerdir. Ancak Euler ve Carl Friedrich Gauss tarafından yararları ortaya çıkarıldığında i sayısı hak ettiği itibarı kazanmıştır.

π sayısı Pi sayısı başlangıçta yarıçapı 1 olan dairenin alanı veya çapı 1 olan dairenin çevresi olarak tanımlanmıştır. Yunan matematikçi Arşimet bu düşünceyi kullanarak Pi için 22/7 yaklaştırmasına ulaşmıştır. Modern Pi tanımını yapan ise yine Euler olmuştur.

e sayısı 17.yüzyılda doğal logaritma tabanı olarak alınan e sayısı da tıpkı Pi gibi virgülden sonraki haneleri tekrarlamadan sürüp gittiği için aşkın bir sayıdır. Bu sayıya adının baş harfini veren Euler’in farkına vardığı bir diğer gerçek ise ex değerinin de şık bir Taylor serisi açılımı olduğudur.

Bu ifade de teta değeri 1 alındığında e sayısı için bir formül elde edilmiş olur.

Euler formülünü oluşturan öğeleri bildiğimize göre yukarıdaki eşitlikte teta değerini π olarak alırsak ve biraz trigonometri bilgisiyle (sin π = 0 ve cos π = -1) formüle ulaşabiliriz:


Peki bu ifadedeki cosinüs falan nereden geldi şimdi diye merak ediyorsanız aşağıda bunu detaylıca açıklayan videoyu dikkatle izlemenizi öneririz.


Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim…

Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere…

Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim.

Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı.

Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Matematiksel Eşitliklerde Güzellik – Çirkinlik Algısı

Beyin taramalarının gösterdiğine bakılırsa matematiksel formüllerdeki karmaşık sayı ve harf dizileri beynimizde sanatsal bir başyapıtın …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');