Doğanın Geometrisi: Fraktal Geometri

Matematik özellikle geometri 20 yüzyıla gelene kadar ifadelerinde Euclides döneminden beri süregelen kavramları kullanıyordu. Bu klasik geometri anlayışında doğada karşımıza çıkan şekiller; doğrular ve düzlemler, daireler ve küreler, üçgenler ve koniklerden ibarettir. Ama gerçek hayatta bulutlar küresel, dağlar konik, göller de eliptik değildir. Doğayı daha iyi anlayabilmek ve modelleyebilmek için yeni bir  geometriye gereksinim vardır. İşte bu da fraktal geometridir.

neon-fractal-design-swirl-spiral-abstract-2560x1600-wallpaper306169

Bu isim Fransız bilim adamı Benoit Mandelbrot tarafından verilmiştir. “Fraktal” kelimesi Latince “fraktus (kırık taş)” kelimesinden türetilmiştir. Fraktal geometrinin yarattığı evren, yuvarlak veya düz olmayan; girintili çıkıntılı, kırık, bükük, birbirine girmiş şekillerden oluşan bir evrendir. Mandelbrot boyutlar arası düzensizlikler konusundaki araştırmalara öncülük etmiş ve 1967’de “İngiltere kıyılarının uzunluğu nedir?” başlıklı bir makale yayınlamıştır.

Uzaydan dünyaya yaklaştığınızı düşünün. Yaklaştıkça kıyılar daha girintili gözükmeye başlayacaktır. Kaya şekillerini ölçmek için metreler gerekirken, çakıltaşları için santimetreler, kum tanecikleri içinse daha küçük ölçüm aletleri gerekecektir.

Mandelbrot’un iddiasına göre, her sahil  bir bakıma sonsuz uzunluktadır çünkü bu iş için kullanılan cetvel ne kadar küçük ölçekli ise tahmin edilen uzunlukta o ölçüde artar. Bu bilgi, fraktal geometrinin başlangıcı ve aynı zamanda; soyut Euclides Geometrisinin sonudur.

Fraktallarla ilgili en kesin kavramlar fraktallara yol açan basit basit geometrik şekiller üzerinde yapılan çalışmalarla elde edilir. Bunların en bilineni Koch kar taneciği denilen şekildir. 1904 yılında Alman matematikçi Helge van Koch tarafından açıklanan bu ilginç şekli elde etmek için bir eşkenar üçgen alınır, her kenarı üç eşit aralıkla işaretlenir ve ortadaki bölümler çıkartılır ve bu buralara kenarları çıkartılan parçalar kadar olan yeni eşkenar üçgenler konulur. Bu durumda yeni şeklimizin çevre uzunluğu öncekinin 4/3 katı olmuştır.Şekil 1: Koch eğrisinin oluşturulması

Bu şekilde her yeni adımda, bir önceki adımda elde edilen doğru parçalarına aynı işlem uygulanınca sonuçta fraktal bir şekil ortaya çıkar. İşleme bu şekilde devam edilip n. adıma gelinirse eğrinin toplam uzunluğu (4/3) n olacaktır. Eğer n yeterince büyük alınırsa eğrinin uzunluğu da sonsuza gidecektir. Diğer bir deyişle Koch eğrisinde iki nokta arasındaki uzaklık sonsuzdur. Eğer bu eğri yakından incelenirse şeklin tamamı ile onu oluşturan alt parçaların bir birine benzer olduğu görülür. Örneğin şeklin tamamını 3 kat küçültürseniz bir alt parçasını elde edersiniz. Bu küçültme işlemine sonsuza kadar devam edebilirsiniz.

Kock kar taneciği düzenli denilen, yani çizim kuralları belli olan fraktallara bir örnektir. Bu düzenli fraktalların ortak özellikleri, eğrinin bir bölümünü ne kadar büyütürseniz büyütün eğri tam olarak aynı şekli sürdürmeye devam etmektedir.

Fraktal şekillerin diğer önemli bir özelliği de boyutlarıdır. Bilindiği gibi Euclides geometrisindeki bütün şekiller tam sayı bir boyuta sahiptir. Örneğin noktanın boyutu 0, doğrunun boyutu 1, karenin boyutu 2, kübün boyutu 3’dür. Oysa fraktal şekiller tam sayı bir boyutla temsil edilemezler. Koch eğrisi iki nokta arasında sonsuz uzunlukta olması nedeniyle basit bir doğrunun ötesine taşmakta, diğer taraftan bir düzlemi de tam olarak dolduramamaktadır. Öyleyse Koch eğrisinin boyutu 1 ile 2 tam sayıları arasında yani kesirli bir sayı olmalıdır. Koch eğrisinin boyutu 1.26’dır. Bu örnekte olduğu gibi kesirli bir boyutlara fraktal boyut denir.

Fraktal boyut kavramı ikiden daha büyük değerlere de uzatılabilir. Örneğin düz bir alüminyum folyo 2 boyutludur ancak onu buruşturursanız iki artı birşey boyutunda bir fraktala dönüştürürsünüz. Bu yeni boyutun kesin değeri folyonun ne kadar kırışık olduğuna bağlıdır ve fraktal kar taneciği için kullanılan yöntemle yaklaşık olarak hesaplayabiliriz. Aradaki tek fark, cetvelle uzunluk ölçmek yerine bu sefer sürekli küçülen ölçü plakaları ile alan ölçüyor olmamızdır.

Fraktallar konusundaki çalışmalar bilimin birçok dalında yararlı fikirlere de kaynaklık yapmaktadır. Yine de bütün bu girişimler yalnızca bir başlangıçtır çünkü fraktalların boyutsal ayrıcalıkları dışında temel özellikleri henüz tam olarak kavranmış değildir. Uygulamada şimdilik bilgisayara grafikleri konusunda önemli yararları olmuştur. Ünlü bir bilimcinin deyişiyle, fraktallar fiziği,hala doğmayı bekleyen bir konudur.

Sibel Çağlar

Kaynak: Malcolm E. Lines – Bir Sayı Tut – Tübitak Kitapları

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi İngilizce Matematik Öğretmenliği, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Matematik ve Oyun

“Matematik, belirli basit kurallar ve kağıt üzerindeki anlamsız sembollerle oynanan bir oyundur.” David HILBERT Matematik …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir