Çemberi Karelemek – Pi’nin Peşine Düşmek

Bilinen dünyanın belki de ilk problemlerinden biri: Çemberi karelemek! Yani bir daire ile aynı alana sahip bir kare elde etmek.

“Çemberi dört köşeli yapmak için düz bir cetvelle işe başladım.” – Aristophanes

Bu problemi bilinen ilk problemlerden biri yapan şey ise, halen British Museum’da saklanan ve bulunabilmiş en eski matematiksel metin olan Rhind Papirüsü* ‘dür. Ahmes adlı bir tapınak katibi tarafından yazıya dönüştürülen bu metnin içinde bazı matematik problemleri ve çözümleri yer almaktadır. Fakat belki de bunların en ilginci Ahmes’in yanıtlamaya çalıştığı 48. sorudadır.

“Bir çemberle aynı alana sahip bir kare elde edilebilir mi?”

Ahmes’in bu soruya verdiği yanıt da oldukça ilgi çekicidir.

 “Çapın1/9’unu kes, kalanın üzerine bir kare çiz. Bu alan dairenin alanının aynısıdır”

Ahmes’in çözümünü günümüz bilgileriyle de irdelediğimizde bulmuş olduğu yaklaşık çözümün günümüzde genel kabul gören yaklaşık değere oldukça yakın bir değer olduğu görülecektir. Hele ki Eski Roma medeniyetinde dahi bu sayının 4’e yuvarlanarak işleme sokulduğunu düşünecek olursak…

Tüm çemberlerin  çevrelerinin çaplarına oranının **sabit bir sayı olduğu çok eski çağlardan bu yana bilinmekteydi. Bununla beraber bu sayının tam değerine ulaşmak oldukça güçtü. Bilinen ilk yazılı kaynakta çözümü aranan çemberi kareleme problemi ise bu oranı bulma yollarından bir tanesiydi. Nitekim kare insanların ölçme adına kullandıkları en basit ve yalın araçtı. Alanını hesaplamak oldukça kolaydı. Eğer bir kare ile aynı alana sahip bir daire elde edilebilirse, tüm dairelerin alanını tam olarak hesaplayabilmek mümkün olacaktı. Çünkü tüm çemberlerde sabit olan, daire alanı hesaplamasında da kullanılan o gizemli orana  yani, Pi  sayısına ulaşılmış olacaktı.

Her ne kadar Ahmes’in Pi yaklaşımının günümüzdeki yaklaşıma yakınlığının hakkını vermemiz gerekse bile şunu açıkça söylemeliyiz, bu yalnızca gerçeğe yakın bir çözümdü. Ve gerçek anlamda çemberle aynı alana sahip bir kare elde edemiyordu. Elde ettiği şey birbirine çok yakın olan ama birbirine eşit olmayan iki sayıydı.

Çemberi kareleme problemi bilinen ilk problem olduğu gibi matematiğin gelişim gösterdiği hemen hemen tüm kültürlerde birbirinden bağımsız olarak ortaya çıkmıştır.

Eski Yunanda “çemberi kareleme” çabası o denli yaygın bir uğraş haline gelmişti ki, bununla uğraşan matematikçilere artık özel bir ünvan veriliyordu: “Tetragonidzein”

Bu noktada  bazı “Tetragonidzeinlerin” Pi sayısının yapısıyla ilgili yani dolayısıyla çemberi kareleme problemiyle ilgili bir kaç adımındanda bahsetmekte fayda var.

Heraclea’lı Antipton**(İ.Ö.469-399)  bir ilke geliştirdi; Tüketme İlkesi

“Bir çemberin içine bir altıgen çizilir, sonra ikiye katlanır sonra tekrar ikiye.. bu böyle devam ettiğinde köşeler o kadar belirginsizleşir ki bir çember elde ederiz”

Daha sonra dostu Bryson bir çemberin içine bir altıgen yerleştirdi, sonra dışına bir altıgen yerleştirdi. İkisinin de alanını hesapladı. Savı şuydu, çemberin alanı bu iki değer arasında bir yerdedir.

Arşimet tüketme ilkesinden yola çıkarak 96 kenarlı çokgen elde etti ve şu bulguyu “Çemberleri Ölçümü” kitabında yazdı:

 “Bir dairenin çevresinin çapına oranı 31/7’den büyük 310/71 den küçüktür.”

Tam değer bulamayacağından emindi.   Bulduğu değerlerin ortalaması 3,1419’du.

Bu adımlar Pi’nin “irrasyonel” yapısına ulaşmak adına önemli kademe taşlarıydı.

Ahmes’i ve Arşimet’i takip eden binlerce yıl boyunca “çemberi kareleme ” problemine yönelik sayısız çözüm ortaya çıktı, üstelik bunlar sadece matematiksel çözümler de değildi!

Ünlü Ressam ve bilim adamı Leonardo da Vinci’nin de çemberi kareleme problemine yönelik çalışmaları olduğu bilinmektedir. Ancak Leonardo da Vinci pergeli ve cetveli kullanarak matematiksel  bir çözüme ulaşamamıştır, bununla beraber bir çözüm iddiası ortaya atmıştır.

Daha çok felsefi bir çözüm gibi duran şu sözler kendisine atfedilmektedir;

“Çember doğal olandır, kare ise insanların yaratısıdır. Tanrının dünyayı düzenleme görevini verdiği insan çemberi kendi özünde kareler.”

Ünlü “Vitruvian Man” adlı çiziminde belki de bu iddiasını ortaya koymaktadır.

Burada “çemberi karelemek” doğayı insan eliyle düzenlemek anlamına gelebilecek bir deyim olarak kullanılmıştır.

Halbuki Fransızca’ da “çemberi karelemek ” sonuçsuz bir çaba, yararsız, neticesi olmayan bir uğraş anlamına gelen bir deyim olarak kullanılmaktadır.

Zira 1775 yılında Fransız Bilimler Akademisi “çemberi kareleme ” problemine yönelik çözümleri artık değerlendirmeyeceğini ilan etmiştir. İddianın yanlışlığı sezgisel olarak fark edilmekle beraber aksi ispat da ortaya konamıyordu.

Bugün bile İngilizce’de yer alan “square the circle” deyimi çözümü mümkün olmayan bir problemi çözmeye uğraşmak anlamına gelmektedir.

Ünlü İngiliz şair Alexandre Pope ise 1743’te Duncaid  adlı şiirinde şöyle yazıyordu:

           “Deli Mathesis hapsedilmemişti yalnız

            Sadece zincirler değildi yeterli, dizginlemeye onu

            Bazen bakardı semalara kendinden geçerek

            Bazen koşardı peşinden çemberlerin, onu kareleyerek…”

Tarihi yaklaşık 3000 yılı bulunan çemberi kareleme yani Pi sayısının tam ve kesin değerine ulaşma problemini ünlü Alman Matematikçi Ferdinand von Lindeamann 1882 yılında çözüme kavuşturacaktı. Fakat bu hiç de öyle romantik bir çözüm değildi zira Lindemann ispatında Pi sayısının transandant sayı olduğunu ve bu sayının köküne ulaşmanın mümkün olmadığını dolayısıyla çemberi karelemenin  mümkün olmadığını açıkça ortaya koyuyordu.

Matematik, kendi tarihinde sorulmuş olan bu ilk soruya verdiği yanıtta, belki de şunu söylüyordu:

Bazen çözümün olmaması da bir çözümdür.

Matematiksel

          

 

Yazıyı Hazırlayan: Hasan Huseyin Akis

Kendimi bildim bileli bir sorunu çözmek durumunda kalıyorum ve ya düzenli olarak çözülmesi gereken problemler yaratıyorum. Sanırım matematikte beni büyüleyen şey de bu. bir çözüm bulma çabası... Öyle ki bu çözüm bulma çabası çoğu kez anlamsız bir çabaya dönüşüyor. Bir çözümü gerçekten bulmak çoğu zaman bir insan ömrüne sığmıyor. Ama matematik o arada hiç durmadan aramaya devam ediyor. Bana öyle geliyor ki matematik insanoğlunun dünyada karşı karşıya kaldığı tüm problemleri çözme çabasının tamamını temsil ediyor hem de tüm yönleriyle. Beni matematiğin içine sokan da, matematikte görmüş olduğum o bizi aşan güzellik de sanırım matematiğin bu yönüyle ilgili... Matematiğin bu yönünü belki diğer insanlara anlatabilirim ve diğer insanların da matematiği benim gördüğüm haliyle görebilmelerini sağlayabilirim umuduyla buradayım. Bunun dışında İzmir'in Ödemiş ilçesinde doğup Matematik Bölümünü Çanakkale'de okumuş olmak gibi bir özgeçmişim var. Halen Çanakkale'de yaşıyorum, bir özel okulda Matematik Öğretmeni olarak çalışıyorum.

Bunlara da Göz Atın

YÖK Yeni Sınav Sistemi’ni Duyurdu

YÖK yeni sınav sistemini duyurduğu pdf dosyasını internet ortamında paylaştı. Biz de sizler için düzenleyip …

2 Yorumlar

  1. Yazilari Pdf olarak indirip sonra okuma sansimiz var mi?

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir