Boole Cebiri ve Modern Bilgisayarın Keşfi

Bilgisayarınızı açtınız ve herhangi bir komut için farenize ya da klavyenize dokundunuz. Bu sizlere göre çok basit bir olay olabilir ama arka planda çok garip ve enterasan şeyler dönmektedir. Eğer bilgisayardan oyun oynuyorsanız veya film izliyorsanız, sıkıldığınızda birşeyler için kurcalıyorsanız bilin ki bunların hepsi “Boole Cebiri” sayesinde gerçekleşmekte.

İsmini İngiliz bir matematikçi ve mantıkçı olan George Boole’dan (1815 – 1864 ) alan bu sistem aslında bilgisayarların keşfinden öncede var gibi duruyor.

Örneğin şu an canınız pasta çekiyor olabilir bu şu an için Boole cebirine göre bu 1 ve canınız çay içmek hiç istemiyorsa bu 0 ile ifade edilir. George Boole 0 ve 1 sayılarının çok güçlü sayılar olduğunu anlatan bir de kitabı vardır.

Bu bileşik ifadelerin yanlış ya da doğru olup olmadığını belirlemek için, temel tabloların alabileceği tüm değerleri listeleyen doğruluk tablosu oluşturabilir ve bileşik deyimin alabileceği tüm karşılık gelen değerleri oluşturabilirsiniz. Hemen yukarıda bahsettiğimiz bileşik deyim ifadesi bir mantık, görüş ya da bilgi cümlesidir. Örneğin, “Uçan insanlar dünyada yoktur” bileşik deyiminin 0 olduğu barizdir. Hemen bir tablo çıkarabiliriz.

Yukarıdaki tablo lise seviyesinden geçmiş herkesin anlayacağı bir tablo. “ve” bağlacına göre doğruluk ve yanlışlık değerleri çıkarılmış.

Bu yeni aritmetik türde (Boolean cebiri) değişkenler mantıksal ifadelerdir. Bunlar sadece iki değer alabileceğinden, yanlış olduğunu bildiğimiz bir deyim için 0, doğru olduğunu bildiğimiz bir deyim için 1 yazabiliriz.

0 + 0= 0 ( Yanlış veya yanlış yanlıştır.)

1 + 1 = 1 ( Doğru veya Doğru doğrudur. )

1 + 0 = 0 + 1 = 1 ( Yanlış veya doğru ya da doğru veya yanlış doğrudur.)

Yukarıda ifade ettiğimiz “veya” bağlacının deyimler  üzerindeki etkisi. Şimdi bir de “ve” bağlacına bakalım.

1 x 1 = 1 ( Doğru ve doğru doğrudur. )

1 x 0 = 0 x 1 = 0 ( Doğru ve yanlış ya da yanlış ve doğru yanlıştır. )

0 x 0 = 0 ( Yanlış ve yanlış yanlıştır. )

Belki parantez içlerinde yazanlar biraz saçma gelebilir ama bu mantık çerçevesinde elektrik devrelerinde çözümlemeler yapılabilmekte veyahut herhangi bağlantılı parçaları daha detaylı anlamlandırmaya yardım etmektedir.

Değişkenler yalnızca 0 ve 1 değerlerine sahip olabileceğinden, tersi işlemi değerinin tam tersine bir sayı alarak tamamlayıcı olarak açıklanabilir.

A=1 ise “ ” olarak tanımlayacağımız şey ” complement of A ” olarak ifade edilir ki bu da türkçe karşılığı olarak ” A’nın değili ” olarak bilinir. Bu durumda  olacaktır. Aynı biçimde de şayet A = 0 ise  olacaktır. Hemen bir adım daha ileriye gidip şunları söyleyelim;

 x  A = 0

olmalıdır.

Bu işlemlerin ardından 1960 yılından sonra yeni sürüm ortaya çıktı. Boole cebirine ekleme ve çıkarma işlemleri ilave edilerek bazı değişkenlerin yorumlanması gündeme geldi. Bu bir devrenin ya da yapının başka bir bağlantı ile ilişkilendirilmesi açısından devrim niteliği taşıdı.

A + A x B

Yukarıda B’nin ne kadar değersiz olduğunu görebiliyorsunuz değil mi? Yani B doğru ya da yanlış olsa da deyimin sonucu A’nın karakterine bağlıdır. Okurun A = 1 ve A = 0 olmak üzere iki farklı değerini araştırabilir. Yani bu durumda,

A + A x B = A

olacaktır.

Ayrıca, Boole cebirinde, ekleme ve çarpma arasında bir ters yöndeşim türü vardır. Buna şöyle bir örnek verelim;

(A + B)’ = A‘ x B‘ ve (A x B)’ = A‘ + B

Yani toplamların değili, değillerinin çarpımlarına eşittir. Ya da çapımların değili, değillerinin toplamlarına eşittir. Burada okurun toplam sembolü ile gösterilen ifadenin “veya”, çarpım olarak gösterilen ifadenin ise “ve” olduğunu unutmaması gerekiyor.

Bu iki eşitlik, İngiliz matematikçi Augustus de Morgan(1806 – 1871)  tarafından keşfedilmiş ve 1834 yılında yayınladığı makalesinde  “De Morgan’s Laws – De Morgan Kuralları” olarak 5 başlıkta toplamıştır. (Eşdeğer doğruluk tabloları olarak da biliyor olabilirsiniz.)

Peki şu bilgisayar meselesi nasıl oluyor bir de ona göz atalım. Bilgisayar bilimcileri yazılım oluştururken ya da herhangi bir komut oluştururken şöyle bir tablo oluşturmaktadır.

Girdiler dediğimiz kısım A, B ve C ile ifade edilmektedir. Elektrik devresi modeli ile en sağda gördüğünüz uzun Boole Mantık sistemi sadece herhangi bir komutu tanımlamaktadır. Yani siz fare ile herhangi bir klasöre tıkladığınız an bilgisayar anında bu sistemi hesaplayıp sonucu bulur. Üç tane girdi olmasına rağmen çıkış noktalarında X ve Y olmak üzere iki çıktı varolmuş. Bu şöyle yorumlanır; Bilgisayar için B girdiği herhangi bir anlam temsil etmemektedir. Yani yukarıda verdiğimiz örnek gibi… Bu şekilde bilgisayarın birçok noktası çözüme kavuşturulmuştur. Şu an için Bilgisayar Mühendisliğinin en gözde çalışma alanlarından biri haline gelmiştir.

Referans

https://plus.maths.org/content/maths-minute-boolean-algebra

http://www.bbc.co.uk/education/guides/zc4bb9q/revision/2

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Mushab Bedirhan Andiz

Matematiğin eşsiz dünyasında kaybolmuş araştırma ve çalışmaktan büyük bir keyif alan, matematiksiz her saniyenin kendisi için kayıp bir an olduğunu düşünen matematik çalışamadığı günlerin telafisini ağlayarak affettirmeye çalışan, içindeki bu heyecanı, aşkı, tutkuyu dindirmek için yazmak zorunda kalan matematikçi...

Bunlara da Göz Atın

Ansel Adams’ın Fotoğraflarındaki Altın Oran

Ansel Adams, 20. yüzyılın en iyi fotoğrafçılarından birisi olarak kabul edilmekte günümüzde. Bunun nedenini fotoğrafçı …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir