Boole Cebiri ve Modern Bilgisayarın Keşfi

Eğer bilgisayardan oyun oynuyorsanız veya film izliyorsanız, sıkıldığınızda bir şeyler için kurcalıyorsanız bilin ki bunların hepsi “Boole Cebiri” sayesinde gerçekleşmekte.

İsmini İngiliz bir matematikçi ve mantıkçı olan George Boole’dan (1815 – 1864 ) alan bu sistem aslında bilgisayarların keşfinden öncede var gibi duruyor.

Boole cebiri, önermeler ya da nesneler arasındaki ilişkileri betimleyen simgesel matematiksel bir mantık sistemidir. Temel kuralları Boole tarafından ortaya konan bu sistem, daha sonra başka matematikçiler tarafından daha da geliştirildi. Kümeler kuramı ve matematiğin diğer dallarına etkili bir biçimde uygulandı. Boole cebiri günümüzde olasılıklar kuramı, kümeler geometrisi ve bilişim kuramı için son derecede değerlidir. Ayrıca, elektronik sayısal bilgisayarlarda kullanılan devrelerin tasarımı için gerekli olan temeli oluşturmaktadır.

Boole cebiri, değişken olarak adi cebirdeki gibi sayısal niceliklerin değil, doğruluk değerlerinin, yani bir mantıksal önermenin doğruluk ya da yanlışlığının kullanıldığı durumlarda geçerlidir. Boole cebirinin önemli bir üstünlüğü olan bu özellik, doğruluk değeri 1 ya da yanlışlık değeri 0 olabilen önermelerle işlem yapılmasına olanak sağlar.

Bu yeni aritmetik türde (Boolean cebiri) değişkenler mantıksal ifadelerdir. Bunlar sadece iki değer alabileceğinden, yanlış olduğunu bildiğimiz bir deyim için 0, doğru olduğunu bildiğimiz bir deyim için 1 yazabiliriz.

0 + 0= 0 ( Yanlış veya yanlış yanlıştır.)

1 + 1 = 1 ( Doğru veya Doğru doğrudur. )

1 + 0 = 0 + 1 = 1 ( Yanlış veya doğru ya da doğru veya yanlış doğrudur.)

Yukarıda ifade ettiğimiz “veya” bağlacının deyimler  üzerindeki etkisi. Şimdi bir de “ve” bağlacına bakalım.

1 x 1 = 1 ( Doğru ve doğru doğrudur. )

1 x 0 = 0 x 1 = 0 ( Doğru ve yanlış ya da yanlış ve doğru yanlıştır. )

0 x 0 = 0 ( Yanlış ve yanlış yanlıştır. )

Belki parantez içlerinde yazanlar biraz saçma gelebilir ama bu mantık çerçevesinde elektrik devrelerinde çözümlemeler yapılabilmekte veyahut herhangi bağlantılı parçaları daha detaylı anlamlandırmaya yardım etmektedir.

Değişkenler yalnızca 0 ve 1 değerlerine sahip olabileceğinden, tersi işlemi değerinin tam tersine bir sayı alarak tamamlayıcı olarak açıklanabilir.

A=1 ise “ ” olarak tanımlayacağımız şey ” complement of A ” olarak ifade edilir ki bu da türkçe karşılığı olarak ” A’nın değili ” olarak bilinir. Bu durumda  olacaktır. Aynı biçimde de şayet A = 0 ise  olacaktır. Hemen bir adım daha ileriye gidip şunları söyleyelim;

 x  A = 0

olmalıdır.

Bu işlemlerin ardından 1960 yılından sonra yeni sürüm ortaya çıktı. Boole cebirine ekleme ve çıkarma işlemleri ilave edilerek bazı değişkenlerin yorumlanması gündeme geldi. Bu bir devrenin ya da yapının başka bir bağlantı ile ilişkilendirilmesi açısından devrim niteliği taşıdı.

A + A x B

Yukarıda B’nin ne kadar değersiz olduğunu görebiliyorsunuz değil mi? Yani B doğru ya da yanlış olsa da deyimin sonucu A’nın karakterine bağlıdır. Okurun A = 1 ve A = 0 olmak üzere iki farklı değerini araştırabilir. Yani bu durumda,

A + A x B = A

olacaktır.

Ayrıca, Boole cebirinde, ekleme ve çarpma arasında bir ters yöndeşim türü vardır. Buna şöyle bir örnek verelim;

(A + B)’ = A‘ x B‘ ve (A x B)’ = A‘ + B

Yani toplamların değili, değillerinin çarpımlarına eşittir. Ya da çapımların değili, değillerinin toplamlarına eşittir. Burada okurun toplam sembolü ile gösterilen ifadenin “veya”, çarpım olarak gösterilen ifadenin ise “ve” olduğunu unutmaması gerekiyor.

Bu iki eşitlik, İngiliz matematikçi Augustus de Morgan(1806 – 1871)  tarafından keşfedilmiş ve 1834 yılında yayınladığı makalesinde  “De Morgan’s Laws – De Morgan Kuralları” olarak 5 başlıkta toplamıştır. (Eşdeğer doğruluk tabloları olarak da biliyor olabilirsiniz.)

Peki şu bilgisayar meselesi nasıl oluyor bir de ona göz atalım. Bilgisayar bilimcileri yazılım oluştururken ya da herhangi bir komut oluştururken şöyle bir tablo oluşturmaktadır.

Girdiler dediğimiz kısım A, B ve C ile ifade edilmektedir. Elektrik devresi modeli ile en sağda gördüğünüz uzun Boole Mantık sistemi sadece herhangi bir komutu tanımlamaktadır. Yani siz fare ile herhangi bir klasöre tıkladığınız an bilgisayar anında bu sistemi hesaplayıp sonucu bulur. Üç tane girdi olmasına rağmen çıkış noktalarında X ve Y olmak üzere iki çıktı varolmuş. Bu şöyle yorumlanır; Bilgisayar için B girdiği herhangi bir anlam temsil etmemektedir. Yani yukarıda verdiğimiz örnek gibi… Bu şekilde bilgisayarın birçok noktası çözüme kavuşturulmuştur. Şu an için Bilgisayar Mühendisliğinin en gözde çalışma alanlarından biri haline gelmiştir.

Referans

https://plus.maths.org/content/maths-minute-boolean-algebra

http://www.bbc.co.uk/education/guides/zc4bb9q/revision/2

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Matematikçi Şairler Algoritması – Turgut Uyar

“nedir sonsuzdan bir önceki sayının adı diyelim sonsuz eksi bir sonsuz eksi bir hayatın adıdır …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');