Bir Teorem & Bir Çizim

Euclid’in Stoikheia’sında geçtiği şekliyle üçgene dair bir teorem ve de çizimle karşınızdayım.

Problem 20 (Üçgen Eşitsizliği): Herhangi bir üçgende iki kenarın uzunlukları toplamı diğer kenarın uzunluğundan büyüktür.

ABC bir üçgen olsun. Diyorum ki ABC üçgeninde herhangi iki kenarın uzunluğunun toplamı diğer kenarın uzunluğundan büyüktür. Yani BA ve AC kenarlarının uzunlukları toplamı BC kenarının uzunluğundan, AB ve BC kenarlarının uzunlukları toplamı AC kenarının uzunluğundan, BC ve CA kenarlarının uzunlukları toplamı da AB kenarının uzunluğundan büyüktür.

 BA kenarını öyle bir D noktasına kadar uzat, ta ki DA ve CA kenarlarının uzunlukları birbirlerine eşit olsunlar. Sonra DC yi çiz. (Post.2 , I.3 , Post.1)

 DA kenarının uzunluğu  AC kenarının uzunluğuna eşit olduğundan ADC açısının ölçüsü ACD açısının ölçüsüne eşit olur. Buradan da BCD açısının ölçüsü ADC açısının ölçüsünden büyüktür. (I.5 , C.N.5)

DCB üçgeninde BCD açısının ölçüsü BDC açısının ölçüsünden büyüktür. Büyük açı karşısında uzun kenar olacağından DB kenarının uzunluğu  BC kenarının uzunluğundan büyüktür. (I.19)

Aynı zamanda DA kenarının uzunluğu  AC kenarının uzunluğuna eşit olduğundan BA ve AC kenarlarının uzunlukları toplamı BC kenarının uzunluğundan büyüktür.

Benzer olarak AB ve BC kenarlarının uzunlukları toplamının CA kenarının uzunluğundan BC ve CA kenarlarının uzunlukları toplamının da AB kenarının uzunluğundan büyük olduğunu ispatlayabiliriz.

Bu yüzden herhangi bir üçgende iki kenarın uzunlukları toplamı diğer kenarın uzunluğundan büyüktür.

Q.E.D.

& 

Problem 22 (Üçgen Çizimi): Herhangi ikisinin uzunlukları toplamının diğerinin uzunluğundan büyük olarak verilen üç doğru parçasından bir üçgen çizimi

Verilen üç doğru parçası A, B ve C olsun, A ile B nin uzunlukları toplamı C den, A  ile C nin uzunlukları toplamı B den, B ile C nin uzunlukları toplamı da A dan büyük olsun. Bizden istenen A, B ve C doğru parçalarından oluşan üçgeni çizmek.

DE ışınını çiz. DF yi A ya eş, FG yi B ye eş ve  GH yi de C ye eş olacak şekilde çiz. (Post.2 , I.3)

F merkezli FD yarıçaplı DKL çemberini ve G merkezli GH yarıçaplı KLH çemberini çiz. KF ile KG doğru parçalarını çiz. (Post.3 , Post.1)

KFG üçgeninin Verilen A, B  ve C doğru parçalarından oluştuğunu söylüyorum.

F noktası DKL çemberinin merkezi olduğundan dolayı FD FK ya eşittir. Aynı zamanda FD A ya eşitti. Buradan KF  A ya eşit olur. (I.Def.16 , C.N.1)

Yine G noktası LKH çemberinin merkezi olduğundan dolayı GH, GK ya eşittir. Aynı zamanda GH C ye eşitti. Buradan KG C ye eşit olur. (I.Def.16 , C.N.1)

Ve FG de B ye eşit buradan hareketle KF, FG ve GK A, B ve C doğru parçalarına eşittir.

Böylece A, B ve C ye eşit olan KF, FG ve GK doğru parçalarından oluşan KFG üçgeni çizilmiş oldu.

Q.E.F.

&

Euclid eserinde problemlerin sonuna, eğer bir teorem ispatladıysa Q.E.D., bir çizimi gerçekleştirdiyse de Q.E.F. harflerini yazıyordu. Bunlar da şu anlamlara gelmektedir. Q.E.F. ibaresi latince quod erat faciendum kelimelerinin baş harflerinden meydana gelmektedir. Bu da “yapılması gereken de budur” anlamındadır. Q.E.D. ibaresi de latince quod erat demonstrandum yani “ispatlanması gereken de budur” anlamında bir sözdür. Günümüzde bunun yerine ise ispatın sonunda sağ tarafta küçük bir kare resmedilir.

Aykut ÇELİKEL

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB’de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid’in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)’ı tartışma zemininde okumak.

Bunlara da Göz Atın

Matematiksel Eşitliklerde Güzellik – Çirkinlik Algısı

Beyin taramalarının gösterdiğine bakılırsa matematiksel formüllerdeki karmaşık sayı ve harf dizileri beynimizde sanatsal bir başyapıtın …

2 Yorumlar

  1. Güzel paylaşım olmuş.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');