Bir Muamma Olarak Matematik

Sitemizin matematiğe amatörce bir merak ve ilgiyle yaklaşan alan dışı pek çok okuru olduğunu biliyorum. Şimdi hepinizden lise matematik bilgilerinizi ve savaş baltalarınızı gömdüğünüz yerden çıkarmanızı istiyorum.

Halihazırda bir lisede ve ya üniversitede  matematik eğitimi alıyorsanız, henüz savaş baltalarınızı kuma gömmediğinizi varsayıyorum, hemen savaş  boyalarınızı sürebilirsiniz. (Alan dışı olmayan sevgili matematikçi dostlar, siz zaten ne yapmanız gerektiğini biliyorsunuz.)

Çünkü bugün Cebir yapacağız!

Cebirin nasıl geliştiğini büyük adımları nasıl attığını ve her büyük adımın nasıl başka bir büyük engelle karşılaştığını, elde edilen her çözümün sadece düne ait problemleri çözdüğünü yarına ise yeni ve başka bir problem getirdiğini gösteren muhteşem bir makaleyi sizlere sunacağım.

(Hemen matematiğe kızmayın, artık biliyorsunuz bu bir yerde hayatın kuralı…)

Birazcık lise matematik bilgisiyle bu büyük işlem adımlarını evde siz de deneyebilir, matematiğin ayak izlerini siz de görebilirsiniz.

Philiph J. Davis ve Reuben Hersh ‘in Scientific American’da 70’li yıllarda yayımlanan ve Ender Abadoğlu’nun “Matematiğin Seyir Defteri” adlı kitapta Türkçeye çevirdiği meşhur makalesi sizlerle…

Bir  Muamma Olarak Matematik
Formel hesaplamaların düz ve dar yolları sık sık bir muammanın taş duvarlarına toslar!
Cardano’nun  kübik denklemler için bulduğu çözüm vakasını ele alalım;
Bu formül Girolamo Cardano tarafından 1545’te  Ars Magna’da  yayımlamış ve

                                   x3 + mx = n

kübik denkleminin çözümü yapılmıştır. Cardano’nun formülü muhtemelen, Harezmi’den beri cebirdeki ilk  büyük ilerlemeydi ve kendi döneminde büyük ve önemli bir gelişme olarak kabul edilmişti.

Cardano’nun büyük adımını birazcık farklı düzenlemeyle veriyoruz.

Farz edelim ki  t  ve  u için

     ve

  (*)

denklemlerin ikisini birden sağlayan iki sayı olsun. Şimdi x sayısını

                                              (* *)   


şeklinde tanımlayalım. O zaman  bu denklemin her iki tarafının kübünü alarak ;

 


buluruz. Böylece , (*) ve  (**),  x’in


denklemini sağladığını gösterir.

t ve u  bilinmeyenlerini içeren (*) denklemlerini  m ve n  cinsinden nasıl çözeceğimizi  zaten biliyoruz.
Çünkü  u = t -n ‘dir.

Böylece t(t-n) = (m/3) 3 olur.

Bu ise   t2 – nt – (m/3)3 = 0  ikinci dereceden denklemini verir. İkinci derece denklemin çözüm formülünü kullanarak, bu denklemin  çözümünü ;

şeklinde buluruz. Böylece

         olur.

Bu bilgileri  (**) denkleminde yerine koyarsak

               (**** )

buluruz.

Cardano’nun  bir gizlilik andını bahane ederek arkadaşı Tartaglia’ya göstermekten kaçındığı meşhur kübik formül budur. Haydi deneyelim !

(Not: Lise yıllarımızda ikinci dereceden denklemler için ortaya konan diskiriminantlı formülü hatırlarsınız, Cardano’nun bu formülü de 3. dereceden denklemler için benzer bir kural ortaya koymuş oluyor. )

   denklemini alalım. Çözümlerden birinin x=1 olduğu açıktır. Bu denklemde m=1 ve n=2 ‘dir ve böylece Cardano’nun formülü

Bu noktada işi hesap makinesine bırakabiliriz.

x= 1.263762616 – 0.2637626158

bu da 2 x 10-10 yaklaşımıyla x =1 sonucunu verir.
Bu gerçekten çok iyi!
Şimdi  bu başarıdan cesaret alarak bir daha deneyelim

  denklemini ele alalım. Çözümlerden birinin  x=4 olduğu açıktır. Cardano’nun formülü:

Hımmm!

Neler oluyor böyle?

‘e bir anlam vermek zorundayız.  Özellikle de ‘i bu örnekte 2 ve ya -2 gibi  bir reel sayı ile nasıl  topladığımızı sonra bu sonucun küpkökünü nasıl aldığımızı açıklamak zorundayız. Hesap makinesini kullanmamız da olası değil.

Şimdi kendinizi Cardano’nu yerine koyun. Yıl 1545! Negatif sayıların karekökünün hiçbir mantıklı tarafı yok; karmaşık sayılar kuramı mevcut değil. Karmaşık sayı diye bir şey henüz yok! Bu anlamsız semboller nasıl yorumlanır?

İşte eksiklik ve muamma!
Matematiğin kendi öz ihtiyaçları bir açıklama için baskı yapıyor. Merak içerisindeyiz. Anlamak zorundayız. Metodolojimiz bizi yeni bir probleme götürdü. Bu çalışmayı meşrulaştıracak ve uygun bir şeklide yorumlayacak  yeterli bir kuramın ortaya çıkması için daha yaklaşık üçyüz yıl var.

Sonuçta bu esrarın  çözümü 1800’lü yıllarda karmaşık sayıları koordinat düzlemindeki noktalar olarak yorumlanması yoluyla yapılmıştır. Bu koordinat düzleminin yatay ekseni  reel eksen  dikey ekseni de “imajiner” eksen ya da i – eksenidir.

Bir kez reel sayıları koordinat  düzlemine gömülü olarak kavradığımızda tümüyle yeni bir matematik alanına girmiş olursunuz.
Karmaşık alanda  yeniden yorumladığınızda bütün eski reel cebir ve analiz bilgileriniz genişler ve zenginleşir. Buna ek olarak sadece reel sayılar bağlamında akla bile gelmeyecek  sayılamayacak kadar  çok yeni problemler  ve sorularla karşılaşırız hemen. Ve yeni çözümlerle…

Hiçbir şeyden habersiz cebirci, Cardano’nu formülünde, kendini hâlâ keşfedilmemiş bir ülkenin şaşırtıcı ve  boş ümitlerle dolu bir manzarasını göreceği bir pencerenin önünde bulur.”

(Matematiğin Seyir Defteri sy. 226 – 228)

Hasan Hüseyin Akis

Matematiksel

 

 

Yazıyı Hazırlayan: Hasan Huseyin Akis

Kendimi bildim bileli bir sorunu çözmek durumunda kalıyorum ve ya düzenli olarak çözülmesi gereken problemler yaratıyorum.
Sanırım matematikte beni büyüleyen şey de bu. bir çözüm bulma çabası… Öyle ki bu çözüm bulma çabası çoğu kez anlamsız bir çabaya dönüşüyor.
Bir çözümü gerçekten bulmak çoğu zaman bir insan ömrüne sığmıyor.
Ama matematik o arada hiç durmadan aramaya devam ediyor.
Bana öyle geliyor ki matematik insanoğlunun dünyada karşı karşıya kaldığı tüm problemleri çözme çabasının tamamını temsil ediyor hem de tüm yönleriyle. Beni matematiğin içine sokan da,
matematikte görmüş olduğum o bizi aşan güzellik de sanırım matematiğin bu yönüyle ilgili…
Matematiğin bu yönünü belki diğer insanlara anlatabilirim ve diğer insanların da matematiği benim gördüğüm haliyle görebilmelerini sağlayabilirim umuduyla buradayım.
Bunun dışında İzmir’in Ödemiş ilçesinde doğup Matematik Bölümünü Çanakkale’de okumuş olmak gibi bir özgeçmişim var.
Halen Çanakkale’de yaşıyorum, bir özel okulda Matematik Öğretmeni olarak çalışıyorum.

Bunlara da Göz Atın

Matematiksel Eşitliklerde Güzellik – Çirkinlik Algısı

Beyin taramalarının gösterdiğine bakılırsa matematiksel formüllerdeki karmaşık sayı ve harf dizileri beynimizde sanatsal bir başyapıtın …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');