Bazı Sayı Problemleri

Problemler insanların, günlük hayatın içinde karşılarına çıkan sorunları çözmesi için, bir düşünce biçimi geliştirmeleri nedeniyle, iyi birer araçtır. Ancak nasıl hayatımızda karşımıza çıkan her problem çözülemezse, aynı sorun matematikte de geçerlidir. Matematikte veya farklı branşlarda çözülemeyen bazı problemlerin başına, Clay Matematik Enstitüsü tarafından 1 milyon dolar ödül bile konulmuş. Bu problemlere ise “Milenyum Problemleri” deniliyor. İncelemek isteyenler buraya tıklayabilirler.

Milenyum Problemleri dışında da matematikte çözülemeyen bazı sayı problemleri var.

Goldbach Sanısı

1742 yılında Goldbach, Euler’e ‘ben böyle bir şey düşündüm’ şeklinde bir mektup yazar. Mektubunda “2’den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilir.” önermesinin doğruluğunu veya yanlışlığını ispatlamasını Euler’den istedi.

Günümüzde iki asalın toplamı şeklinde ‘yazılamayan’ bir sayı bulunamamış. Yani bilinen tüm çift sayılar bu şekilde yazılabiliyor. Fakat bu önermenin doğruluğu da ispatlanamamış. Yani her çift sayı için geçerli olduğu bilinmiyor.

Asal Sayılar

1. n2 ve  (n+1) 2 arasında her zaman bir asal sayı var mıdır?

2. n2+1 formunda yazılabilen sonsuz tane asal sayı var mıdır?

Bu soruların da her zaman doğru olduğu ispatlanamadığı gibi bahsedilen durumlara aykırı bir örnek de henüz bulunamamış.

İkiz Asallar ve Kuzen Asallar

Aralarındaki fark 2 olan asallara ikiz asallar, aralarındaki fark 4 olan asallara ise kuzen asallar denir. Örneğin:

(5,7), (11,13), (51, 53) asalları ikiz asallardır.

(3,7), (37,41), (43,47) asalları kuzen asallardır.

Sorumuz ise şu: “İkiz asallar ve kuzen asallar sonsuz tane midir?”

Bu sorunun da doğruluğu veya yanlışlığı ispatlanamamış.

Fermat Asalları 

Fermat,  biçimindeki sayıların, her n doğal sayısı için asal sayı olduğunu iddia etmiştir. Fakat aradan geçen 100 yıl sonra n=5 için bu sayının asal olmadığı kanıtlanmıştır.

Bu formülde n=5 için elde edilen sayının 641’in bir katı olduğu anlaşılmıştır. Bu andan sonra bu formdaki sayılara ‘Fermat sayıları’, bu sayıların asal olanlarına da ‘Fermat asalları’ denilmeye başlandı.

Ayrıca bir ek bilgi olarak söylemek gerekirse Fermat, aslında bir matematikçi değil bir hukukçudur. Matematikle, uğraşmayı sevdiği için ilgilenmektedir.

Fermat sayıların her zaman asal olmadığı kanıtlandıktan sonra ortaya yeni bir soru daha çıktı: “Fermat asalları sonlu tanedir.” sanısı. Bunun bir sanı olmasının en büyük sebebi ise bugüne kadar yalnızca 5 tane Fermat asalının bulunmuş olmasıdır. Fakat yine de sonlu olduğu kanıtlanamadığı için bu bir sanı olarak matematik literatüründe yerini almıştır.

Mersenne Asalları

“n bir asal sayı olduğunda 2 n-1 de asaldır.” önermesinde 2 n-1 şeklindeki asallara Mersenne Asalı denmektedir. Bu sayının n=11 için asal olmadığı gösterilmiş ve önermenin yanlışlığı kanıtlanmıştır. Fakat bu durum yeni bir soruyu da beraberinde getirmiş: “Mersenne asalları sonsuz tane midir?”

Aralık 2005’te Mersenne asallarından 43’üncüsü bulunmuş fakat bu asalların sonlu mu sonsuz mu olduğu hâlâ çözülememiştir.

Mükemmel Sayılar

Kendisi hariç çarpanlarının toplamına eşit olan sayılara mükemmel sayılar denir. Örneğin: 6’nın çarpanları 1, 2, 3 ve 6’dır. Bu çarpanlardan 6’nın kendisi hariç diğer tüm çarpanların toplamı yine 6’ya eşit olmaktadır. (6=1+2+3) Farklı mükemmel sayılara örnekler: 28, 496, 8128.

Bugüne kadar bulunan bütün mükemmel sayılar çiftmiş. Sorumuz da burada başlıyor.

“Tek olup da mükemmel olan sayı var mıdır?” Eğer bu soruya ‘vardır’ yanıtını veriyorsanız bu tek mükemmel sayıyı göstermelisiniz. Eğer ‘yoktur’ diyorsanız da yokluğunu kanıtlamanız gerekmektedir.

Palindromik Sayılar

Kapak, kütük, sus, yay, kepek sözcükleri ilginç bir ortak özellikle dikkat çekiyor: Düzden ve tersten okunduğunda aynılar. Onlar ilginç olur da aynı özelliği taşıyan sayılar il­ginç olmaz mı? Palindromik bir sayı düzden ve tersten okunduğunda aynı olan sayılardır:

1991, 10001, 12621, 79388397.

Cebirsel operasyonlarla palindromik sayıları üretebilme meselesi de bu kavramın merak uyandıran konuların­dan biri. Bu yollardan biri, herhangi bir sayıyı düzden ve tersten yazıp palindrom üretene kadar toplamak: 13 + 31 = 44; 129 + 921 = 1050 tekrar: 1050 + 501 = 1551

Şirin görüntüleriyle zararsız görü­nen bu sayıların sizi çıldırtan bir prob­leme dönüşmesi mümkün mü dersiniz?

Örneğin 98’i bir palindrom yapmak için bu toplama işlemlerini 24 kez de­vam ettirmeniz gerekecetir. Olur ya, palindrom yapmak için 196 sayısını  seçtiniz. O zaman ömrünüzü harcama­nız gerekebilir! Halbuki 196’ya varana kadar tüm sayılar kolayca palindrom oluyor. Bugüne kadar milyonlarca iş­lem uygulanmış olan (bilgisayarlar sağolsun) 196’nın bir palindrom olmaya niyeti yok gibi gözüküyor.

Collatz Problemi

Pozitif bir tamsayı seçilir ve o sayıya şu işlemler uygulanır:

Sayı tekse 3 katını alıp 1 ekleyin. Sayı çiftse 2’ye bölün.

Aynı işlemi çıkan sayılara uygulamaya devam edin. Ulaşacağınız sonuç hep 1 dir.

Örnek olarak 13 sayısını ele alalım.

13, 40, 20, 10, 5, 16,8,4,2,1

Soru ise şu: “Bu işlemler yapıldığında 1 sonucunu vermeyen bir sayı var mıdır?”

Fermat’ın Son Teoremi

Her ne kadar bu problem çözülmüş olsa da 350 yıl boyunca çözümü açığa ‘çıkarılamadığından’ dolayı burada adının yer alması gerekirdi. İsteyenler bu teoremin, çözen matematikçinin ve çözüm sürecinde yaşananların ayrıntılarını bu yazıda bulabilirler: Fermat’a Meydan Okuyan Bir Profesör

Kaynak: Prof. Dr. Serkan NARLI. 2017. Elementer Sayı Kuramı Dersi, DEÜ İlköğretim Matematik Öğretmenliği Bölümü

Atakan YÜCEL

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Atakan YÜCEL

Merhaba! Edirne Keşan Anadolu Öğretmen Lisesi'nden 2014'te mezun oldum. İzmir Dokuz Eylül Üniversitesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği bölümünde son sınıf öğrencisiyim. Kendimi geliştirebileceğim her alanda geliştirmek için çaba harcıyorum. Bireylerin özgelişimlerinin hiçbir zaman sona ermeyeceğini ve herkesin kendisini geliştirmesi için farklı alanlarda birtakım fırsatları olduğunu düşünüyorum. Fırsatların olmadığı zamanlarda ise gerçekten gelişim isteyen bireylerin, kendilerine fırsatlar yaratabileceğine inanıyorum. İlerlediğim bu özgelişim yolunda birçok çalışma yapmak için çaba sarf ediyorum. Kitaplar okuyor ve yazılar yazıyorum. Alanım olan matematik ile sınırlı kalmayıp, felsefeye ve sanata da vakit ayırıyorum. Bakış açımı genişletmek için farklı ülkelerden, farklı kültürlerden insanlarla tanışıyorum ve bunun için zaman yaratıyorum. Yeni diller öğrenmek için ise KPSS'den sonrası için planlar yapıyorum. Bireyin özgelişimini gerçekleştirirken alması gereken güç, her zaman kendi içindeydi ve hala da içinde. Bu gücü kullanmaya giden yol, tamamen zihnimizde bitiyor. İyi gelişmeler dilerim!

Bunlara da Göz Atın

Daha İyi Bir Matematik Performansı İçin 7 İpucu

Önceleri geç kaldım bu yazıyı yazmakta diye endişe duymuştum. Fakat ülkemizin eğitim sistemi ve  iş …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');